例 1.19 对下列表达式进行因式分解

(a) $$x^2 + 12x + 35$$      (b) $2x^2 + 9x - 5$

解 (a) 由于

$$(x + \alpha)(x + \beta) = x^2 + (\alpha + \beta)x + \alpha\beta$$

我们考察该表达式常数项的因数

$$35 = 5 \times 7 = 35 \times 1$$

并注意到 $5 + 7 = 12$ 而 $35 + 1 = 36$ 。因此我们可以选取 $\alpha = 5$ 和 $\beta = 7$ 并写成

$$x^2 + 12x + 35 = (x + 5)(x + 7)$$

(b) 由于

$$(mx + \alpha)(nx + \beta) = mnx^2 + (n\alpha + m\beta)x + \alpha\beta$$

我们考察下列系数的因数 $x^2$ 以及常数以给出的系数 $x$ 。这里

$$2 = 2 \times 1$$ 和 $-5 = (-5) \times 1 = 5 \times (-1)$

我们看到

$$2 \times 5 + 1 \times (-1) = 9$$

因此我们可以写成

$$(2x - 1)(x + 5) = 2x^2 + 9x - 5$$

对因式分解进行“抽查”是合理的，即代入一个样本值 $x$ ，例如 $x = 1$

(1)(6) = 2 + 9 − 5

评注 某些二次表达式，例如 $x^2 + y^2$ ，没有实数因子。 $(a + b)^2$ 在 (1.5a) 中的 e 展开是以下一般结果的一个特例： $(a + b)^2$ 称为二项式展开。稍后我们将再次讨论它（见第 1.3.6 节和第 7.7.2 节）。这里我们来看 $n = 0, 1, \dots, 6$ 的情形。

把它们写出来，我们得到

$$(a + b)^0 = 1$$

$$(a + b)^1 = a + b$$

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

$$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

$$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$$

$$(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$$