此表可以无限扩展。每一行都可以很容易地由前一行得到。例如，

$$(a + b)^4 = (a + b)(a + b)^3$$

$$= a(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + b(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)$$

$$= a^4 + 3a^3b + 3a^2b^2 + ab^3 + a^3b + 3a^2b^2 + + 3ab^3 + b^4$$

$$= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

其中涉及的系数构成一个称为帕斯卡三角形的数字模式，如图 1.7 所示。三角形内部的每个数都是通过将其上一行中位于它左右两侧的数相加而得到的，如图 1.7 中的箭头所示。这一数字模式在帕斯卡之前已被中国数学家贾宪（十一世纪中叶）发现。

例 1.20 展开

展开

$$(a) (2x + 3y)^2 \quad (b) (2x - 3)^3 \quad (c) \left(2x - \frac{1}{x}\right)^4$$

解 (a) 这里我们使用展开式

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

其中 $a = 2x$ 和 $b = 3y$ 得到

$$\begin{aligned} (2x + 3y)^2 &= (2x)^2 + 2(2x)(3y) + (3y)^2 \ &= 4x^2 + 12xy + 9y^2 \end{aligned}$$

(b) 这里我们使用展开式

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

$$(2x - 3)^3 = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$$

$$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$$

$$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a + b)^1 = a + b$$

$$(a + b)^0 = 1$$

图 1.7 帕斯卡三角形。 $(a+b)^0 = 1$