图 1.10 例 1.21 中的圆锥和圆柱。

1.3.3 方程、不等式与恒等式

在应用数学解决实际问题时，经常会遇到这样的情况：一个含有未赋值变量的表达式的数值已被给定，我们需要求出使该表达式取该值的未赋值变量的值。下面通过几个初等例子来说明这一思想。

例 1.21 一个底面直径为 100 mm、高为 150 mm 的空心圆锥被倒置并完全充满液体。然后将液体转移到底面直径为 80 mm 的空心圆柱中。圆柱中液体的高度是多少？

解 该情形如图 1.10 所示。圆锥的容积为

$$\frac{1}{3}(\text{base area}) \times (\text{perpendicular height})$$

因此圆锥中液体的体积为

$$\frac{1}{3} \pi (50^2)(150) = 125\ 000 \pi \text{ mm}^3$$

圆柱中液体的体积为

$$(\text{base area}) \times (\text{height}) = \pi(40^2)h \text{ mm}^3$$

其中 h mm 是圆柱中液体的高度。令这两个量相等（假设转移过程中没有液体损失），我们得到

1600 h = 125 000

这个方程使我们能够求出未赋值变量 h 的值：

$$h = 1250/16 = 78.125$$

因此圆柱中液体的高度精确到毫米为 78 mm。