在前面的例子中，我们使用了底面直径为 D、高为 H 的圆锥体积 V 的公式。我们通常把它写成

$$V = \frac{1}{12} \pi D^2 H$$

并理解各测量单位是相容的。这个公式还可以告诉我们：已知圆锥的体积和底面直径时，如何求它的高

$$H = \frac{12V}{\pi D^2}$$

这种变形很常见，通常被称为“变换公式的主元”。

例 1.22 某经销商以总成本 120 英镑购进了一批价格相同的商品。他卖出了除一件以外的所有商品，每件获利 1.50 英镑，总收入为 135 英镑。他买了多少件商品？

解 设 $n$ 为购买的商品件数。那么每件商品的成本为 $£(120/n)$ 。由于 $(n - 1)$ 件商品被售出，每件商品的售价为 $£(135/(n - 1))$ 。因此每件商品的利润为

$$\mathcal{E} \left{ \frac{135}{n-1} - \frac{120}{n} \right}$$

，已知它等于 1.50 英镑。于是

$$\frac{135}{n-1} - \frac{120}{n} = 1.50$$

这意味着

$$135n - 120(n - 1) = 1.50(n - 1)n$$

两边同除以 1.5 得

$$90n - 80(n - 1) = n^2 - n$$

化简并合并各项，我们得到

$$n^2 - 11n - 80 = 0$$

这个关于 n 的方程可以通过对左边的二次表达式进行因式分解来进一步化简

$$(n - 16)(n + 5) = 0$$

这意味着要么 $n = 16$ 要么 $n = -5$ ，所以经销商最初购买了 16 件商品（解 $n = -5$ 不可行）。

例 1.23 使用配方法 (1.5a)，求一般二次方程的求根公式

$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$