为 $200 + 0.5 \times (\text{number sold})$ ，从而就 $p$ 而言，我们有生产成本 £C 由下式给出

$$C = 200 + 0.5(20,000 - 100p)$$

制造商通过销售获得的收入 £R 为（销售数量）×（价格），即得

$$R = (20,000 - 100p)p/100$$

（记得用英镑表示金额）。因此，利润 $$P$ 由下式给出

$$\begin{aligned} P &= R - C \ &= (20,000 - 100p)p/100 - 200 - 0.5(20,000 - 100p) \ &= -p^2 + 250p - 10,200 \end{aligned}$$

配方后我们得到

$$\begin{aligned} P &= 125^2 - (p - 125)^2 - 10200 \ &= 5425 - (p - 125)^2 \end{aligned}$$

由于 $(p - 125)^2 \geq 0$ ，我们推出 $P \leq 5425$ 并且最大值为 $P$ 为 5425。为了实现这一周利润，制造商应采用 1.25 英镑的价格。

区分那些仅对未赋值变量的受限取值集合有效的等式 $x$ 与那些对所有 $x$ 值都成立的等式是很重要的。例如，

$$(x - 5)(x + 7) = 0$$

仅当 $x = 5$ 或 $x = -7$ 时成立。相比之下，

$$(x - 5)(x + 7) = x^2 + 2x - 35 \tag{1.8}$$

对所有 $x$ 值都成立。这里“等于”一词以微妙不同的方式使用。在第一种情况下，“=”表示“数值上等于”；在第二种情况下，“=”表示“代数上等于”。有时我们通过特殊符号 $\equiv$ 来强调这种不同的含义，它表示“代数上等于”。（然而，在工程实践中，两种情况都使用“=”是相当普遍的做法。）这样的方程通常称为恒等式。涉及未赋值变量的恒等式，如 (1.8) 中的 $x$ ，对所有 $x$ , 有时我们可以利用这一事实来简化代数运算。

例 1.27 求满足条件的数 $A$ , $B$ 和 $C$ ，使得

$$x^2 + 2x - 35 \equiv A(x - 1)^2 + B(x - 1) + C$$

解 方法 (a)：由于 $x^2 + 2x - 35 \equiv A(x - 1)^2 + B(x - 1) + C$ 对于任何赋给 $x$ 的值都成立。所以我们选取使求 $A$ , $B$ 和 $C$ 变得容易的值。