选择 $x = 0$ 得到 $-35 = A - B + C$

选择 $x = 1$ 得到 $-32 = C$

选择 $x = 2$ 得到 $-27 = A + B + C$

于是我们得到 $C = -32$ ，其中 $A - B = -3$ 和 $A + B = 5$ 。因此 $A = 1$ 和 $B = 4$ 以给出恒等式

$$x^2 + 2x - 35 \equiv (x - 1)^2 + 4(x - 1) - 32$$

方法 (b)： 展开右边的各项，我们得到

$$x^2 + 2x - 35 \equiv Ax^2 + (B - 2A)x + A - B + C$$

等号两边的表达式在代数上相等，这意味着 $x^2$ 的系数在左边必须等于 $x^2$ 在右边的系数，依此类推。因此

$$1 = A$$

$$2 = B - 2A$$

$$-35 = A - B + C$$

于是我们得到 $A = 1$ , $B = 4$ 以及 $C = -32$ ，与之前相同。

注意： 方法 (a) 假设存在一个有效的 $A$ , $B$ 和 $C$ 存在。有时将方法 (a) 和 (b) 结合使用会有所帮助。

例 1.28 求数 $A$ , $B$ 和 $C$ 使得

$$\frac{x^2}{x-1} \equiv Ax + B + \frac{C}{x-1}, \quad x \neq 1$$

解 将右边表示为单项，我们得到

$$\frac{x^2}{x-1} \equiv \frac{(Ax + B)(x-1) + C}{x-1}$$

当 $x \neq 1$ 时，这等价于

$$x^2 \equiv (Ax + B)(x - 1) + C$$

取 $x = 0$ 得 $0 = -B + C$

取 $x = 1$ 得 $1 = C$

选择 $x = 2$ 给出 $4 = 2A + B + C$

于是我们得到

$$C = 1, B = 1$$ 和 $A = 1$ ，从而得到

$$\frac{x^2}{x-1} \equiv x+1 + \frac{1}{x-1}$$