$$\sum_{i=0}^3 \theta_i = \theta_0 + \theta_1 + \theta_2 + \theta_3 = \sum_{n=0}^3 \theta_n = \sum_{j=0}^3 \theta_j$$

因此，一般地，如果 $a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$ 是一个数列或表达式序列，我们记作

$$\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n$$

例 1.29 已知 $a_0 = 1$ , $a_1 = 5$ , $a2 = 2, $a_3 = 7$ , $a_4 = -1$ and $b_0 = 0$ , $b_1 = 2$ , $b_2 = -2$ , $b_3 = 11$ , $b_4 = 3$ , calculate$

$$(a) \sum_{k=0}^4 a_k \quad (b) \sum_{i=2}^3 a_i \quad (c) \sum_{k=1}^3 a_k b_k \quad (d) \sum_{k=0}^4 b_k$$

解

解 (a) $$\sum_{k=0}^4 a_k = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4$$

将给定的值代入 $a_k$ ( $k = 0, \dots, 4$ ) 得

$$\sum_{k=0}^4 a_k = 1 + 5 + 2 + 7 + (-1) = 14$$

(b) $$\sum_{i=2}^3 a_i = a_2 + a_3 = 2 + 7 = 9$$

(c) $$\sum_{k=1}^3 a_k b_k = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = (5 \times 2) + (2 \times (-2)) + (7 \times 11) = 83$$

(d) $$\sum_{k=0}^4 b_k^2 = b_0^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2 = 0 + 4 + 4 + 121 + 9 = 138$$

1.3.6 阶乘记号与二项式展开

整数的乘积

$$1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1$$

有一种特殊的记法和名称。它被称为 n 的阶乘，记作 n!。因此，当

$$n! = n(n-1)(n-2)\dots(1)$$

两个例子是

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 和 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

注意到 5! = 5(4!)，因此一般地我们可以写成

$$n! = (n-1)! \times n$$