这一关系使我们能够定义 $0!$ ，因为 $1! = 1 \times 0!$ 和 $1!$ 也等于 $1$ 。因此 $0!$ 由下式定义

0! = 1

例 1.30 计算

计算

• (a) 4!                  (b) 3! × 2!                  (c) 6!                  (d) 7!/(2! × 5!)

解

• 解 (a) $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

请注意 $2! \times 3! \neq (2 \times 3)!$ .

$$(d) \frac{7!}{2! \times 5!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$$

请注意，我们可以通过写成

7! = 7 × 6 × (5!)

来简化最后一项，然后

$$\frac{7!}{2! \times 5!} = \frac{7 \times 6 \times (5!)}{2! \times 5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$$

n! 的一种解释是将 n 个不同对象排成一行时所有不同排列方式的总数。例如，单词 SEAT 由四个不同的字母组成，我们可以用 4! = 24 种不同的方式排列这些字母。

STEA ETAS ASTE TASE

这是因为我们可以用四种不同的方式选择第一个字母（S、E、A 或 T）。一旦做出这个选择，我们就可以用三种不同的方式选择第二个字母，然后用两种不同的方式选择第三个字母。选定了前三个字母后，最后一个字母就自动确定了。对于四种可能的首字母选择，我们有三种可能的第二字母选择，因此共有十二种（ $4 \times 3$ ）前两个字母的可能选择。对于这十二种可能的选择，我们各有两种第三字母的选择，因此共有二十四种（ $4 \times 3 \times 2$ ）前三个字母的可能选择。选定了前三个字母后，最后一个字母只有一种可能的选择。所以总共有 4! 种可能的选择。