例 1.31

单词 REGAL 的字母排成一行有多少种排法？其中字母 A 和 E 相邻的排法又有多少种？

解答

单词 REGAL 有五个不同的字母，因此它们排成一行共有 $5! = 120$ 种排法。要找出其中 A 和 E 相邻的排法有多少种，我们把 RGL(AE) 和 RGL(EA) 中的括号部分视为一个符号，考虑可以有多少种排法。这两种情况各有 $4!$ 种可能的排法，所以在单词 REGAL 的字母所能排成的 120 种不同排法中，有 48 种包含相邻的字母 A 和 E。

阶乘记号的引入使得许多复杂表达式的书写变得方便。特别地，它使我们能够写出前面讨论过的二项式展开的一般形式（见 1.3.1 节）。在那里我们详细写出了 $(a + b)^n$ 当 $n = 0, 1, 2, \dots, 6$ 时的展开式，并注意到 $(a + b)^n$ 的系数与 $(a + b)^{n-1}$ 的系数之间的关系，这在图 1.7 的帕斯卡三角中清楚地显示出来。

如果

$$(a + b)^{n-1} = c_0 a^{n-1} + c_1 a^{n-2} b + c_2 a^{n-3} b^2 + c_3 a^{n-4} b^3 + \dots + c_{n-1} b^{n-1}$$

且

$$(a + b)^n = d_0 a^n + d_1 a^{n-1} b + d_2 a^{n-2} b^2 + \dots + d_{n-1} a b^{n-1} + d_n b^n$$

，那么，正如前面在推导帕斯卡三角时所描述的，

$$c_0 = d_0 = 1, \quad d_1 = c_1 + c_0, \quad d_2 = c_2 + c_1, \quad d_3 = c_3 + c_2, \dots$$

并且一般地

$$d_r = c_r + c_{r-1}$$

很容易验证该关系由下式满足

$$d_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}, \quad c_r = \frac{(n-1)!}{r!(n-1-r)!}, \quad c_{r-1} = \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-1-r+1)!}$$

并且可以证明，在 $a^{n-r} b^r$ 的展开式中，其系数为 $(a + b)^n$ 是

$$\frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r(r-1)(r-2)\dots(1)} \quad (1.9)$$

这是一个非常重要的结果，有许多应用。利用它我们可以写出一般的二项式展开

$$(a + b)^n = \sum_{r=0}^n \frac{n!}{r!(n-r)!} a^{n-r} b^r \quad (1.10)$$