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该系数 $\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 被称为二项式系数，并有专门的记号
$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$
这可以写成 " $C_r$ 。因此我们可以写成
$$(a + b)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} a^{n-r} b^r \quad (1.11)$$
这被称为一般的二项式展开。
例 1.32
展开表达式 $(2 + x)^5$ 。
解 在一般的二项式展开中令 $a = 2$ 和 $b = x$ ，我们得到
$$\begin{aligned} (2 + x)^5 &= \sum_{r=0}^5 \binom{5}{r} 2^{5-r} x^r \ &= \binom{5}{0} 2^5 + \binom{5}{1} 2^4 x + \binom{5}{2} 2^3 x^2 + \binom{5}{3} 2^2 x^3 + \binom{5}{4} 2x^4 + \binom{5}{5} x^5 \ &= (1)(2^5) + (5)(2^4)x + (10)(2^3)x^2 + (10)(2^2)x^3 + (5)(2)x^4 + 1x^5 \ \text{since } \binom{5}{0} &= \frac{5!}{0!5!} = 1, \binom{5}{1} = \frac{5!}{1!4!} = 5, \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = 10 \text{ and so on. Thus} \ (2 + x)^5 &= 32 + 80x + 80x^2 + 40x^3 + 10x^4 + x^5 \end{aligned}$$
1.3.7 练习
33 已知 $a_0 = 2$ , $a_1 = -1$ , $a_2 = -4$ , $a_3 = 5$ , $a_4 = 3$ 和 $b_0 = 1$ , $b_1 = 1$ , $b_2 = 2$ , $b_3 = -1$ , $b_4 = 2$ ，计算
| (a) $\sum_{k=0}^4 a_k$ | (b) $\sum_{i=1}^3 a_i$ |
|---|---|
| (c) $\sum_{k=1}^2 a_k b_k$ | (d) $\sum_{j=0}^4 b_j^2$ |
34 求
| (a) $5!$ | (b) $3!/4!$ | (c) $7!/(3! \times 4!)$ |
|---|---|---|
| (d) $\binom{5}{2}$ | (e) $\binom{9}{3}$ | (f) $\binom{8}{4}$ |
35 利用一般二项式展开展开下列表达式：
| (a) $(x - 3)^4$ | (b) $(x + \frac{1}{2})^3$ |
|---|---|
| (c) $(2x + 3)^5$ | (d) $(3x + 2y)^4$ |