图 1.13 笛卡尔坐标。

1.4 几何

1.4.1 坐标

除了引入代数运算之外，十七世纪的另一项创新是使用坐标来表示平面上点 P 的位置，如图 1.13 所示。按照惯例，点 P 用括号内的一对有序数表示，即：(x, y)。这一创新主要归功于哲学家和科学家勒内·笛卡尔（René Descartes，1596–1650），因此我们常将 (x, y) 称为 P 的笛卡尔坐标。这一记号与前面介绍的数轴上开区间的记号相同（见 1.2.1 节），但其含义完全不同，两者不应混淆。(x, y) 表示开区间还是坐标对，通常可以从上下文中清楚地看出。

1.4.2 直线

坐标的引入使得用代数方法描述经典几何中的平面曲线以及用代数方法证明标准结论成为可能。

例如，考虑位于直线 AB 上的点 P，如图 1.14 所示。设 P 按比例分割 AB $\lambda:1 - \lambda$ 。那么 $AP/AB = \lambda$ 并且，由相似三角形可得，

$$\frac{\text{AP}}{\text{AB}} = \frac{\text{PQ}}{\text{BC}} = \frac{\text{AQ}}{\text{AC}}$$

设 A、B 和 P 的坐标分别为 (x0, y0)、(x1, y1) 和 (x, y)；那么由图可知

$$\text{AQ} = x - x_0, \text{AC} = x_1 - x_0, \text{PQ} = y - y_0, \text{BC} = y_1 - y_0$$

于是

$$\frac{P_Q}{BC} = \frac{AQ}{AC} \quad \text{implies} \quad \frac{y - y_0}{y_1 - y_0} = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}$$

由此，经过一些整理后我们推出，

$$y = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) + y_0 \quad (1.12)$$

它表示经过两点 (x0, y0) 和 (x1, y1) 的直线的方程。

更简单地，经过坐标为 (x0, y0) 和 (x1, y1) 的两点的直线方程可以写为

$$y = mx + c \quad (1.13)$$

其中 $m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$ 是直线的梯度（斜率）， $c = \frac{y_0 x_1 - y_1 x_0}{x_1 - x_0}$ 是它在 y 轴上的截距。

图 1.14 直线。

图 1.15 垂直线。

一条垂直于 $y = mx + c$ 的直线，其梯度为 $-1/m$ ，如图 1.15 所示。直线 PQ 的梯度为 $\text{OP}/\text{QO} = m$ 。直线 PR 的梯度为 $-\text{OP}/\text{OR}$ 。由相似三角形 POQ、POR 可得 $\text{OP}/\text{OR} = \text{OQ}/\text{OP} = 1/m$ .