形如

$$y = mx + c$$

的方程表示平面上的直线，因此称为线性方程。

例 1.33 求经过点 (1, 2) 和 (3, 3) 的直线方程。

解 取 $(x_0, y_0) = (1, 2)$ 以及 $(x_1, y_1) = (3, 3)$

$$\text{slope of line} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}$$

，于是由公式 (1.12) 可得直线方程为

$$y = \frac{1}{2}(x - 1) + 2$$

化简得

$$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$$

例 1.34 求经过点 $(3, 2)$ 且平行于直线 $2y = 3x + 4$ 的直线方程。求它在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距。

解 写出 $2y = 3x + 4$ 如

$$y = \frac{3}{2}x + 2$$

由 (1.13) 我们得到这条直线的斜率为 $\frac{3}{2}$ 。由于所求直线与该直线平行，它的斜率也为 $\frac{3}{2}$ 。（垂直于它的直线的斜率为 $-\frac{2}{3}$ 。）因此由 (1.13) 它的方程为

$$y = \frac{3}{2}x + c$$

为了确定常数 $c$ ，我们利用该直线经过点 $(3, 2)$ 这一事实，于是

$$2 = \frac{9}{2} + c$$      得到      $c = -\frac{5}{2}$

因此所求直线的方程为

$$y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$$ 或 $2y = 3x - 5$

y 截距为 $c = -\frac{5}{2}$ 。

为了求得 $x$ 截距，我们代入 $y = 0$ ，得到 $x = \frac{5}{3}$ ，因此 $x$ 截距为 $\frac{5}{3}$ .

图 1.16
直线
$2y = 3x - 5$ .