(a) (b)

图 1.17

(a) 圆心在原点、半径为 r 的圆。(b) 圆心在 (a, b)、半径为 r 的圆。

因此一般方程

$$x^2 + y^2 + 2fx + 2gy + c = 0 \quad (1.14b)$$

因此一般方程

$$x^2 + y^2 + 2fx + 2gy + c = 0 \quad (1.14b)$$ 表示一个圆心为 $(-f, -g)$ 半径为 $\sqrt{(f^2 + g^2 - c)}$ 的圆。注意一般圆方程中含有三个常数 $f$ , $g$ 和 $c$ 。这意味着我们需要三个点才能完全确定一个圆。

例 1.35 求圆心为 (1, 2)、半径为 3 的圆的方程。

解 根据勾股定理，若点 P(x, y) 位于圆上，则由 (1.14a) 可得

$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$$

$$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 9$$

1.4.3 圆

圆是一条平面曲线，其上所有点到某个定点（称为圆心）的距离都相等。最简单的情形是圆心在原点、半径为 r 的圆，如图 1.17(a) 所示。对三角形 OPQ 应用勾股定理，我们得到

$$x^2 + y^2 = r^2$$

（注意 r 是常数。）当圆心位于点 (a, b) 而不是原点时，圆的方程为

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \quad (1.14a)$$

这是对图 1.17(b) 中三角形 O'PN 应用勾股定理得到的。将其展开可得

$$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$