给出方程为

$$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$$

例 1.36

求圆的半径及圆心坐标，其方程为

$$2x^2 + 2y^2 - 3x + 5y + 2 = 0$$

解 两边同除以以下系数 $x^2$ 我们得到

$$x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y + 1 = 0$$

现在分别对 $x$ 项和 $y$ 项配方，得

$$(x - \frac{3}{4})^2 + (y + \frac{5}{4})^2 = \frac{9}{16} + \frac{25}{16} - 1 = \frac{18}{16}$$

因此，由 (1.14a)，该圆的半径为 $(3\sqrt{2})/4$ 圆心为 $(3/4, -5/4)$ .

例 1.37

求经过下列各点的圆的方程 $(0, 0)$ , $(0, 2)$ , $(4, 0)$ 。

解 方法 (a)：由 (1.14b)，圆的一般方程为

$$x^2 + y^2 + 2fx + 2gy + c = 0$$

将三个点代入该方程，得到关于未知数的三个方程 $f$ , $g$ 和 $c$ 。

因此，代入 $(0, 0)$ 得到 $c = 0$ ，代入 $(0, 2)$ 得到 $4 + 4g + c = 0$ ，代入 $(4, 0)$ 得到 $16 + 8f + c = 0$ 。解这些方程得 $g = -1$ , $f = -2$ 和 $c = 0$ ，因此所求的方程为

$$x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0$$

方法 (b)：由图 1.18 利用圆的几何性质，我们看到其圆心位于 $(2, 1)$ ，且由于它经过原点，其半径为 $\sqrt{5}$ 。因此，由 (1.14a)，其方程为

$$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2$$

图 1.18
例 1.37 的圆。