化简得

$$x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0$$

如前所述。

例 1.38 求直线 $y = x - 1$ 与圆 $x^2 + y^2 - 4y - 1 = 0$ 的交点。

解 将 $y = x - 1$ 代入圆的公式，得

$$x^2 + (x - 1)^2 - 4(x - 1) - 1 = 0$$

化简得

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

该方程可因式分解为

$$(x - 2)(x - 1) = 0$$

因此 $x = 1$ 和 $x = 2$ 是根。于是交点为 $(1, 0)$ 和 $(2, 1)$ 。

例 1.39 求在点 $(2, 1)$ 处圆 $x^2 + y^2 - 4y - 1 = 0$ 的切线方程。

解 切线是一条直线，它是直线与圆相交于两个不同点和直线与圆完全不相交这两种情形之间的临界情况。我们可以把它描述为直线与圆相交于两个重合点的情形。因此，过点 (2, 1) 且斜率为 $m$

$$y = m(x -2) + 1$$

的直线是圆的切线，当方程

$$x^2 + [m(x - 2) + 1]^2 - 4[m(x - 2) + 1] - 1 = 0$$

有两个相等的根时。将这些项展开，我们得到方程

$$(m^2 + 1)x^2 - 2m(2m + 1)x + 4(m^2 + m - 1) = 0$$

该方程有等根的条件是（利用例 1.23 的注 (a)）

$$4m^2(2m + 1)^2 = 4[4(m^2 + m - 1)(m^2 + 1)]$$

化简得

$$m^2 - 4m + 4 = 0 \quad \text{or} \quad (m - 2)^2 = 0$$