1.4.4 练习题

• 36 求直线的方程

• 36	求直线的方程 (a) 斜率为 $\frac{3}{2}$ 且经过点 $(2, 1)$ ; (b) 斜率为 $-2$ 且经过点 $(-2, 3)$ ; (c) 经过两点 $(1, 2)$ 和 $(3, 7)$ ; (d) 经过两点 $(5, 0)$ 和 $(0, 3)$ ; (e) 平行于直线 $3y - x = 5$ ，经过点 $(1, 1)$ ; (f) 垂直于直线 $3y - x = 5$ ，经过点 $(1, 1)$ .	39	求圆心为 $(-2, 3)$ 且经过点 $(1, -1)$ . 的圆的方程 $(1, 0)$ , $(3, 4)$ 求经过点 $(5, 0)$ . 和 $x^2 + y^2 - 4x - 1 = 0$ 在点处 $(1, 2)$ . 一根长 50 厘米的杆在平面内运动，其两端位于两条互相垂直的导线上。求其中点所走过的曲线的方程。
  37	写出圆心为 $(1, 2)$ 、半径为 5 的圆的方程。	43	三角形的高的垂足 $A(0, 0)$ , $B(b, 0)$ 和 $C(c, d)$ 分别是 $D$ , $E$ 和 $F$ 。证明这些高相交于点 $O(c, c(b-c)/d)$ 。再证明经过的圆 $D$ , $E$ 和 $F$ 并且也经过每条边的中点以及线段的中点 $AO$ , $BO$ 和 $CO$ .
  38	求由方程给出的圆的半径及圆心坐标		$x^2 + y^2 + 4x - 6y = 3$

1.4.5 圆锥曲线

圆是圆锥曲线之一（图 1.19），由阿波罗尼奥斯于公元前 200 年左右引入，他在一本名为《圆锥曲线论》（Conics）的教科书中发表了对圆锥曲线性质的广泛研究。他使用这个书名是因为他将这些曲线想象成一个“平坦的”即平面以不同方向与圆锥面相交时所产生的截线，如图 1.20(a–d) 所示。注意，圆锥曲线在极端情形下会退化为一个点和直线，如图 1.20(e–g) 所示。尽管在阿波罗尼奥斯的时代，他关于圆锥曲线的工作在应用方面似乎价值不大，但后来证明它具有相当重要的意义。这主要是因为圆锥曲线是抛射体、人造卫星、月球以及地球在行星或恒星引力作用下所遵循的路径。早期的希腊天文学家认为行星沿圆形轨道运行，直到 1609 年，德国天文学家约翰内斯·开普勒才正确地描述了它们的路径是椭圆，太阳位于其中一个焦点上。轨道完全可能不是椭圆而是其他曲线。想象一颗流星或彗星从太空中某个遥远区域接近太阳。该天体将遵循的路径在很大程度上取决于它运动的速度。如果该天体相对于太阳来说很小，比如说具有行星的尺寸，并且它相对于太阳的速度不太高，它将永远无法逃脱，并将绕太阳描绘出一条椭圆路径。一个例子是爱德蒙·哈雷于 1682 年观测到、如今被称为哈雷彗星的彗星。他计算了它的椭圆轨道，发现它就是曾在 1066 年、1456 年、1531 年和 1607 年被观测到的那颗彗星，并正确地预言它将于 1758 年再次出现。它最近一次被观测到是在 1986 年。如果该天体的速度非常高，它的路径会被太阳偏折，但它不会永远绕太阳运行。相反，它将以双曲线形式的路径绕过太阳，并继续其返回外太空的旅程。在这两种极端情况之间的某处，存在一个临界速度，该速度恰好大到使天体无法