图 1.25
音爆。

以飞机为顶点，以圆锥形的形式从飞机传播出去。这个圆锥将与地面相交成一条双曲线，如图 1.25 所示。音爆会在同一时刻到达这条曲线上的每一点，因此居住在曲线上的人们会同时听到它。居住在这条曲线之外的人不会听到音爆，但最终曲线内的每一点都会听到它。

图 1.19 展示了处于标准位置的圆锥曲线，相应的方程可以解释为这四种曲线的标准方程。更一般地，圆锥曲线可以用一般二次方程来表示

$$ax^2 + by^2 + 2fx + 2gy + 2hxy + c = 0 \quad (1.15)$$

只要其图像不退化为一个点或直线，(1.15) 就表示

• 一个圆，如果 $a = b \neq 0$ 以及 $h = 0$
• 一条抛物线，如果 $h^2 = ab$
• 一个椭圆，如果 $h^2 < ab$
• 一条双曲线，如果 $h^2 > ab$

圆锥曲线可以用多种（等价的）方式在数学上定义，我们将在下面的例子中加以说明。

例 1.40 一个点 P 运动，使得它到两个定点 A 和 B 的距离之和为常数。证明它描绘出一个椭圆。

解 该曲线的定义意味着 $AP + BP = \text{constant}$ 其中原点 $O$ 是 $AB$ . 根据对称性，我们选取 $x$ 轴和 $y$ 轴，如图 1.26 所示。假设该曲线与 $x$ 轴相交于 $P_0$ ，则

$$AP_0 + BP_0 = AB + 2AP_0 = 2OP_0$$

因此定义中的常数为 $2OP_0$ 且对于曲线上的任意一点 P，有

$$AP + BP = 2OP_0$$

$AP + BP = 2OP_0$
设 $P = (x, y)$ , $P_0 = (a, 0)$ , $P_1 = (-a, 0)$ , $A = (c, 0)$ 和 $B = (-c, 0)$ 。然后利用勾股定理，我们得到

$$AP = \sqrt{[(x - c)^2 + y^2]}$$

$$BP = \sqrt{[(x + c)^2 + y^2]}$$ 使得……的定义方程为 $$\text{AP} = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$$

$$\text{BP} = \sqrt{[(x + c)^2 + y^2]}$$

使得曲线的定义方程变为

$$\text{AP} = \sqrt{[(x - c)^2 + y^2]}$$

$\text{BP} = \sqrt{[(x + c)^2 + y^2]}$
在曲线的定义方程变为 $\sqrt{[(x - c)^2 + y^2]} + \sqrt{[(x + c)^2 + y^$

图 1.26
例 1.40 的路径。