为了得到所需的方程，我们需要“去掉”平方根项。这只能通过将方程两边平方来实现。首先我们将方程改写为

$$\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x + c)^2 + y^2}$$ 然后平方得到 $$\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x + c)^2 + y^2}$$

然后平方得到

可以通过将方程两边平方来实现。首先我们改写 $$\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x + c)^2 + y^2}$$ 然后平方得到 $$(x - c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x + c)$$

展开平方项，我们得到

然后平方得到 $$(x - c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{[(x + c)^2 + y^2]} + (x + c)^2 + y^2$$

合并各项，我们得到

$$a\sqrt{[(x + c)^2 + y^2]} = a^2 + cx$$

再次将两边平方得到

$$a^2[x^2 + 2cx + c^2 + y^2] = a^4 + 2a^2cx + c^2x^2$$

化简为

$$(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)$$

注意到 $a > c$ 我们写为 $a^2 - c^2 = b^2$ , 以得到

$$b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$$

由此得到椭圆的标准方程

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

点 A 和 B 是椭圆的焦点，焦距之和为定值这一性质被称为椭圆的弦性质，因为它使我们能够用一段绳子画出椭圆。

对于双曲线，焦距之差为定值。

例 1.41 一个点运动时，它到一个定点 F 的距离等于它到一条定直线的垂直距离。证明它描绘出一条抛物线。

解 设定直线为 $LL'$ 如图 1.27 所示，选取图中所取的坐标轴。由于 $PF = PN$ 对于曲线上的点，我们推出该曲线平分 $FM$ ，因此若 $F$ 为 $(a, 0)$ ，则 $M$ 为 $(-a, 0)$ 。设一般点 $P$ 在曲线上的点具有坐标 $(x, y)$ 。然后根据勾股定理

$$PF = \sqrt{[(x - a)^2 + y^2]}$$ 另外 $PN = x + a$ ，因此 $PN = PF$ 意味着 $$\text{PF} = \sqrt{[(x - a)^2 + y^2]}$$

(x, y)。然后根据勾股定理

$$PF = \sqrt{[(x - a)^2 + y^2]}$$ 另外 $PN = x + a$ ，因此 $PN = PF$ 意味着

$$x + a = \sqrt{[(x - a)^2 + y^2]}$$ 平方 $$x + a = \sqrt{(x - a)^2 + y^2}$$

两边平方得

$$(x + a)^2 = (x - a)^2 + y^2$$

图 1.27 例 1.41 中点的轨迹。