化简后得到

$$y^2 = 4ax$$

抛物线的标准方程。直线 LL' 称为抛物线的准线。

• 例 1.42 (a) 求在点 $(1, 1)$ 处与抛物线 $y = x^2$ 相切的切线方程。证明该切线平行于经过点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ , $(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$ 的直线，这两点也在抛物线上。

解 (a) 考虑经过点 $(1, 1)$ 的一般直线。其方程为 $y = m(x - 1) + 1$ 。它与抛物线相交的条件是

$$m(x - 1) + 1 = x^2$$

即当

$$x^2 - mx + m - 1 = 0$$

对这个二次式进行因式分解，得到

$$(x - 1)(x - m + 1) = 0$$

给出根 $x = 1$ 和 $x = m - 1$

因此切线方程为 $y = 2x - 1$ 。

经过点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ , $(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$ 的直线斜率为

$$\frac{\frac{9}{4} - \frac{1}{4}}{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = 2$$

所以它与 $(1, 1)$ .

• 处的切线平行。(b) 考虑经过 $(a, a^2)$ 的一般直线。其方程为 $y = m(x - a) + a^2$ 。它与抛物线 $y = x^2$ 相交于

$$m(x - a) + a^2 = x^2$$

即，其中

$$x^2 - mx + ma - a^2 = 0$$

这可分解为

$$(x - a)(x - m + a) = 0$$

得到根 $x = a$ 和 $x = m - a$ 。当 $a = m - a$ 时，这两个根相等；也就是说，当 $m = 2a$ 。因此，在 $(a, a^2)$ 处的切线方程为 $y = 2ax - a^2$ 。

经过点 $(a - h, (a - h)^2)$ , $(a + h, (a + h)^2)$ 的直线的斜率为

$$\begin{aligned} \frac{(a + h)^2 - (a - h)^2}{(a + h) - (a - h)} &= \frac{a^2 + 2ah + h^2 - (a^2 - 2ah + h^2)}{2h} \ &= \frac{4ah}{2h} = 2a \end{aligned}$$