2.321 和 0.000 059 71

都有 4 位有效数字，而前者有 3 位小数，后者有 8 位小数。

像 3200 这样的数字有多少位有效数字并不清楚。可能是 2、3 或 4 位。为避免这种歧义，必须将其写成如下形式 $3.2 \times 10^3$ （当它精确到 2 位有效数字时）或 $3.20 \times 10^3$ （3 位有效数字）或 $3.200 \times 10^3$ （4 位有效数字）。这通常被称为科学记数法。它被广泛用于表示非常大或非常小的数字。本质上，一个数 $x$ 被写成如下形式

$$x = a \times 10^n$$

其中 $1 \leq |a| < 10$ 且 $n$ 是一个整数。因此，静止电子的质量为 $9.11 \times 10^{-28}$ 克，而真空中的光速为 $2.9978 \times 10^{10}$ 厘米每秒^-1。

例 1.43 将数 150.4152 表示为

• (a) 精确到 1、2、3 位小数；(b) 精确到 1、2、3 位有效数字。

解 (a) $$150.4152 = 150.4$$ （1 位小数）

= 150.42（2 位小数）

$$= 150.415 \text{ (3dp)}$$

(b) $$150.4152 = 1.504152 \times 10^2$$

$$= 2 \times 10^2 \quad (1\text{sf})$$

$$= 1.5 \times 10^2 \quad (2\text{sf})$$

$$= 1.50 \times 10^3 \text{ (3sf)}$$

1.5.2 估计舍入误差的影响

通过实验获得的数值数据，由于测量仪器的精度有限，往往包含舍入误差。此外，由于无理数和某些有理数没有有限小数表示，算术运算中不可避免地会因四舍五入而产生误差。这类误差的影响会在算术过程中不断累积，良好的工程计算应包含对其的估计。随着计算机的广泛使用，这一过程变得更加重要。当使用者与繁琐的计算过程相隔离时，他们往往无法培养出对答案精度限度的感觉。事实上，在某些计算中，误差会随着计算的进行而急剧膨胀。在本节中，我们将为计算分析中的这种敏感性建立基本概念。

例 1.44 计算

(a) $$3.142 + 4.126$$      (b) $5.164 - 2.341$      (c) $235.12 \times 0.531$

对每个答案计算舍入误差影响的估计，并将答案表示为正确舍入后的数。