解答 (a) $3.142 + 4.126 = 7.268$

根据四舍五入数的约定，3.142 代表所有 $a$ 介于 3.1415 和 3.1425 之间的数，而 4.126 代表所有 $b$ 介于 4.1255 和 4.1265 之间的数。因此，如果 $a$ 和 $b$ 是正确舍入的数，它们的和 $a + b$ 介于 $c_1 = 7.2670$ 和 $c_2 = 7.2690$ 之间。将 $c_1$ 和 $c_2$ 保留到 3 位小数得到 $c_1 = 7.267$ 和 $c_2 = 7.269$ 。由于两者不一致，我们无法给出 3 位小数的答案。将 $c_1$ 和 $c_2$ 保留到 2 位小数得到 $c_1 = 7.27$ 和 $c_2 = 7.27$ 。由于两者一致，我们可以给出 2 位小数的答案；因此 $a + b = 7.27$ ，如图 1.29 所示。

(b) $5.164 - 2.341 = 2.823$

对此应用同样的“最坏情况”分析可知，该差值介于 $5.1635 - 2.3415$ 和 $5.1645 - 2.3405$ ；也就是说，介于 2.8220 和 2.8240 之间。因此答案应写为 $2.823 \pm 0.001$ 或者，作为一个正确舍入的数，2.82。

(c) $235.12 \times 0.531 = 124.84872$

显然，如果我们使用的是舍入后的数，写出带有这么多小数位的答案是不合理的，但保留多少位小数才合理呢？再次使用“最坏情况”分析，我们推断出该乘积介于 $235.115 \times 0.5305$ 和 $235.125 \times 0.5315$ 之间；也就是说，介于 $c_1 = 124.728 5075$ 和 $c_2 = 124.968 9375$ 之间。因此答案应写为 $124.85 \pm 0.13$ 。在这个例子中，由于该数在数轴上所处的位置， $c_1$ 和 $c_2$ 只有在舍入到 3 位有效数字（0 位小数）时才一致。因此，作为一个正确舍入的数，该乘积为 125。

一次合格的计算应当包含对舍入误差影响的估计。对于复杂的表达式，分析这类误差的影响必须有系统地进行。

定义

(a) 一个数值的误差定义为

误差 = 近似值 − 真值

这有时被称为绝对误差。注意，真值等于近似值减去误差。

(b) 类似地，修正值定义为

真值 = 近似值 + 修正值

修正值 = −误差

图 1.29