• (c) 误差模是误差的大小， $|\text{error}|$ ，而误差界（或绝对误差界）是误差模的最大可能值。
• (d) 相对误差是误差大小与真值大小之比：

$$\text{relative error} = \left| \frac{\text{error}}{\text{value}} \right|$$

相对误差界是相对误差的最大可能值。

• (e) e) 百分比误差（或百分误差）为 $100 \times$ 相对误差，而百分比误差界是百分误差的最大可能值。

在某些情况下，我们把真值看作一个近似值和一个余项。此时余项由下式给出

remainder = −error = correction

例 1.45 求下列正确舍入数的绝对误差界和相对误差界

• (a) 29.92      (b) −0.01523      (c) $3.9 \times 10^{10}$

• 解 (a) 该数 $29.92$ 给到小数点后 2 位（2dp），这意味着它表示该范围内的某个数 $29.92 \pm 0.005$ 。因此其绝对误差界为 0.005，即最低有效位的半个单位，其相对误差界为 $0.005/29.92$ 即 0.00017。

通常，由于我们不知道真值，我们用误差界来估计计算中误差的影响，即例 1 中所示的“最坏情况”分析。一个值的误差界 $v$ 记作 $\varepsilon_v$ 。

首先考虑和 $c = a + b$ 。当我们把两个舍入后的数 $a$ 和 $b$ 相加时，它们的和会同时继承来自 $a$ 和 $b$ 的舍入误差。 $a$ 的真实值介于 $a - \varepsilon_a$ 和 $a + \varepsilon_a$ 之间，而 $b$ 介于 $b - \varepsilon_b$ 和 $b + \varepsilon_b$ 之间。因此， $c$ 的真实值所能具有的最小值为 $a - \varepsilon_a + b - \varepsilon_b$ ，其可能的最大值为 $a + \varepsilon_a + b + \varepsilon_b$ 。（记住， $\varepsilon_a$ 和 $\varepsilon_b$ 均为正数。）因此， $c = a + b$ 具有误差界

$$\boldsymbol{\varepsilon}_c = \boldsymbol{\varepsilon}_a + \boldsymbol{\varepsilon}_b$$

，如图 1.30 所示。类似的“最坏情况”分析表明，差值 $d = a - b$ 的误差界是以下各项误差界之和： $a$ 和 $b$ :

$$d = a - b, \quad \varepsilon_d = \varepsilon_a + \varepsilon_b$$