因此，对于加法和减法，结果的误差界都是各个误差界之和。

接下来考虑乘积 $p = a \times b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是正数。 $p$ 的最小可能值将等于 $a$ 和 $b$ 的最小可能值之积；即，

$$p > (a - \varepsilon_a) \times (b - \varepsilon_b)$$

类似地

$$p < (a + \varepsilon_a) \times (b + \varepsilon_b)$$

因此，将括号展开相乘后，我们得到

$$ab - a\varepsilon_b - b\varepsilon_a + \varepsilon_d\varepsilon_b < p < ab + a\varepsilon_b + b\varepsilon_a + \varepsilon_d\varepsilon_b$$

忽略非常小的项 $\varepsilon_d \varepsilon_b$ , 我们得到乘积误差界的估计值：

$$\varepsilon_p = a\varepsilon_b + b\varepsilon_a, \quad p = a \times b$$

将等式两边同时除以 $p$ ，我们得到

$$\frac{\varepsilon_p}{p} = \frac{\varepsilon_a}{a} + \frac{\varepsilon_b}{b}$$

现在 $a$ 的相对误差 $a$ 被定义为 $a$ 中的误差 $a$ , $b$ 与 $p$ :

$$r_p = r_a + r_b$$

的大小之比。上式将 $r_a = \varepsilon_a / |a|$ 和的相对误差界联系起来。注意这里允许 $a$ 为负，等等。

对商进行类似的 最坏情况分析 $q = a/b$ 可得到估计值

$$r_q = r_a + r_b$$

因此，对于乘法和除法，结果的相对误差界是个体相对误差界之和。

这些用于估计误差界的基本规则可以组合起来以获得更一般的结果。例如，考虑 $z = x^2$ ；则 $r_z = 2r_x$ 。一般而言，若 $z = x^y$ ，其中 $x$ 是一个舍入后的数，而 $y$ 是精确的，则

$$r_z = y r_x$$

图 1.30