例 1.46 计算 $13.92 \times 5.31$ 和 $13.92 \div 5.31$ 。

假设这些数值都是正确舍入的数，计算每个答案的误差界，并将其写成保留尽可能多有效数字的正确舍入数。

解 13.92 × 5.31 = 73.9152；13.92 ÷ 5.31 = 2.621 468 927

设 $a = 13.92$ 和 $b = 5.31$ ；则 $r_a = 0.00036$ 和 $r_b = 0.00094$ ，因此 $a \times b$ 和 $a \div b$ 具有相对误差界 $0.00036 + 0.00094 = 0.0013$ 。我们通过将相对误差界乘以 $a \times b$ 来得到绝对误差界 $a \times b$ 。因此 $a \times b$ 的绝对误差界为 $0.0013 \times 73.9152 = 0.0961$ 。类似地， $a \div b$ 的绝对误差界为 $0.0013 \times 2.6215 = 0.0034$ 。因此， $a \times b$ 和 $a \div b$ 的值位于误差区间

$$73.9152 - 0.0961 < a \times b < 73.9152 + 0.0961$$

和

2.6215 − 0.0034 < a ÷ b < 2.6215 + 0.0034

中，于是 $73.8191 < a \times b < 74.0113$ 和 $2.6181 < a \div b < 2.6249$ 。

由这些不等式我们可以推出 $a \times b$ 和 $a \div b$

$$a \times b = 74$$ 和 $a \div b = 2.62$

并且我们看到舍入约定是如何丢弃信息的。在实际应用中，写成如下形式可能更有帮助

$$73.81 < a \times b < 74.02$$

和

$$2.618 < a \div b < 2.625$$

例 1.47 计算

计算

$$6.721 - \frac{4.931 \times 71.28}{89.45}$$

假设给出的所有数值都是正确舍入的数，计算你答案的误差界，并将其写成一个正确舍入的数。

解 使用计算器，得到的答案是

$$6.721 - \frac{4.931 \times 71.28}{89.45} = 2.791 635 216$$

为了估计数据舍入误差的影响，我们首先绘制一个树状图来表示计算的执行顺序。请记住 $+$ , $-$ , $\times$