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我们希望求出 $x$ , $0 \leq x \leq 9$ 的值，它使 C 最小。为此，我们首先通过代入 $x$ 来改变变量
$$x = 3 \left( t - \frac{1}{t} \right)$$
使得 $x^2 + 36$ 成为一个完全平方：
$$\begin{aligned} x^2 + 36 &= 36 + 9(t^2 - 2 + 1/t^2) \ &= 9(t + 1/t)^2 \end{aligned}$$
于是 C(x) 变为
于是 $$C(x)$$ 变为 $$\begin{aligned} C(t) &= [9 - 3(t - 1/t) + 3.75(t + 1/t)]c \ &= [9 + 0.75(t + 9/t)]c \end{aligned}$$ 利用算术–几何平均不等式 $x + y \geq 2\sqrt{(xy)}$ ，见 (1.4d)，我们
$$t + \frac{9}{t} \geq 6$$
且等号在以下情况成立： $t = 9/t$ ；也就是说，在 $t = 3$ 处。
因此最小成本在 $t = 3$ 和 $x = 3(3 - 1/3) = 8$ 处取得。所以电缆应在从起点 A 沿岸铺设 1 km 后离开海岸。
1.7 复习题（1–25）
1 (a) 通风理论中的一个公式为
$$Q = \frac{\sqrt{H}}{K} \sqrt{\frac{A^2 D^2}{A^2 + D^2}}$$
试用其他符号表示 A。
- (b) 解方程
$$\frac{1}{x+2} - \frac{2}{x} = \frac{3}{x-1}$$
2 分解下列各式：
| (a) | $ax - 2x - a + 2$ | (b) | $a^2 - b^2 + 2bc - c^2$ |
|---|---|---|---|
| (c) | $4k^2 + 4kl + l^2 - 9m^2$ | (d) | $p^2 - 3pq + 2q^2$ |
| (e) | $l^2 + lm + ln + mn$ |
3 (a) 两个小挂钩位于同一水平线上，相距 8 cm。一根长 16 cm 的不可伸长的细绳两端各系一质量相等的重物，并对称地搭在挂钩上。将绳的中点竖直向下拉，直到它与两重物处于同一直线上。每个重物升高了多少？
- (b) 若图 1.34 中阴影部分的面积为 10 平方单位，求一个精确到小数点后三位的“可接受的” x 值。
图 1.34 题 3(b) 的阴影区域。