4 阻抗 $Z$ 欧姆的电路，包含电阻 $R$ 欧姆、电感 $L$ 亨利和电容 $C$ 法拉，当振荡频率为 $n$ 每秒时，由下式给出

$$Z = \sqrt{\left( R^2 + \left( 2\pi nL - \frac{1}{2\pi nC} \right)^2 \right)}$$

(a) 使 $L$ 成为该公式的主项。
(b) 若 $n = 50$ , $R = 15$ 且 $C = 10^{-4}$ 证明存在两个 $L$ 使得 $Z = 20$ 但只有一个值使 $L$ 这将使 $Z = 100$ 。求 $Z$ 在每种情况下保留两位小数。

5 展开 (a) 和 (b)，并对 (c) 到 (e) 进行有理化。

(a) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2$
(b) $(\sqrt{5} + 7\sqrt{3})(2\sqrt{5} - 3\sqrt{3})$
(c) $\frac{4 + 3\sqrt{2}}{5 + \sqrt{2}}$
(d) $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{3}}$
(e) $\frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$

6 求整数 $m$ 和 $n$ 使得

$$\sqrt{(11 + 2\sqrt{30})} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$$

7 证明

$$\sqrt{(n+1)} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{(n+1)} + \sqrt{n}}$$

并由此推出

$$\sqrt{(n+1)} - \sqrt{n} < \frac{1}{2\sqrt{n}} < \sqrt{n} - \sqrt{(n-1)}$$

对于任意整数 $n \geq 1$ 。推导出和

$$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{(9999)}} + \frac{1}{\sqrt{(10000)}}$$

介于 198 与 200 之间。

8 用区间表示下列 $\mathbb{R}$ 的各子集：

(a) ${x: 4x^2 - 3 < 4x, x \text{ in } \mathbb{R}}$
(b) ${x: 1/(x + 2) > 2/(x - 1), x \text{ in } \mathbb{R}}$

(c) ${x: |x + 1| < 2, x \text{ in } \mathbb{R}}$
(d) ${x: |x + 1| < 1 + \frac{1}{2}x, x \text{ in } \mathbb{R}}$

9 已知在围成给定面积的所有平面曲线中，圆的周长最小。证明：若周长为 $L$ 的平面曲线围成的面积为 $A$ ，则 $4\pi A \leq L^2$ 。对正方形和半圆验证此不等式。

10 算术-几何平均不等式

$$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$$

蕴含

$$\left(\frac{x+y}{2}\right)^2 \geq xy$$

利用代换 $x = \frac{1}{2}(a+b)$ , $y = \frac{1}{2}(c+d)$ , 其中 $a, b, c$ 和 $d > 0$ ，以证明

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(\frac{c+d}{2}\right) \leq \left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^2$$

从而得出

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\left(\frac{c+d}{2}\right)^2 \leq \left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4$$

对该不等式的前两项应用算术-几何平均不等式，推出

$$abcd \leq \left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4$$

从而

$$\frac{a+b+c+d}{4} \geq \sqrt[4]{abcd}$$

11 证明若 $a < b, b > 0$ 且 $c > 0$ 则

$$\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c} < 1$$

对下列情形求一个类似的不等式 $a > b$ 。

12 (a) 若 $n = n_1 + n_2 + n_3$ 证明

$$\binom{n}{n_1} \binom{n_2+n_3}{n_2} = \frac{n!}{n_1!n_2!n_3!}$$

（这表示将 $n$ 个对象分成分别含 $n_1, n_2$ 和 $n_3$ 个对象的三个组的方式数。）