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- (b) 展开下列表达式
(i) $$\left(1 - \frac{x}{2}\right)^5$$ (ii) $(3 - 2x)^6$
(i) $$\left(1 - \frac{x}{2}\right)^5$$ (ii) $(3 - 2x)^6$
13 (a) 求值 $\sum_{n=-2}^3 [n^{n+1} + 3(-1)^n]$
- (b) 一个正方形点阵可以被划分为一组 L 形的点组，如图 1.35 所示。
17 对于下列两条抛物线
(i) $$y^2 = 8x + 4y - 12$$ ，以及
(ii) $$x^2 + 12y + 4x = 8$$
求出
- (a) 顶点的坐标，
- (b) 焦点的坐标，
- (c) 准线的方程，
- (d) 对称轴的方程。
画出每条抛物线的草图。
18 求方程为的椭圆的中心坐标和焦点坐标
$$25x^2 + 16y^2 - 100x - 256y + 724 = 0$$
它的顶点坐标和准线方程是什么？画出该椭圆的草图。
19 求十进制数 10.386 23 的十二进制等值数。
20 证明：若 $y = x^{1/2}$ 则 $y$ 的相对误差界是 $x$ 的一半。据此完成图 1.36 中的表格。
第三个 L 形内有多少个点？将 3 乘 3 的正方形扩展为边长 4 乘 4 需要增加多少个点？将一个 $(r - 1)$ 乘 $(r - 1)$ 的正方形扩展为大小为 $r$ 乘 $r$ 的正方形需要多少个点？用 $P_r$ 表示这个数，并用几何论证得到它的表达式 $\sum_{r=1}^n P_r$ 并在该情形下通过直接计算验证你的结论 $n = 10$ .
图 1.35
| 数值 | 绝对 误差界 |
相对 误差界 |
|
|---|---|---|---|
| $a$ | 7.01 | 0.005 | $\longrightarrow$ 0.0007 |
| $\sqrt{a}$ | 2.6476 | 0.0009 | $\longleftrightarrow$ 0.000 35 |
| $b$ | 52.13 | ||
| $\sqrt{b}$ | |||
| $c$ | 0.01011 | ||
| $\sqrt{c}$ | |||
| $d$ | $5.631 \times 10^{11}$ | ||
| $\sqrt{d}$ | |||
| 正确舍入的值 | $\sqrt{a}$ $\sqrt{b}$ $\sqrt{c}$ $\sqrt{d}$ |
舍入值 2.65
- 14 求该直线的方程
- (a) 经过点 $(-6, -11)$ 和 $(2, 5)$ ;
- (b) 经过点 (4, -1) 且斜率为 $\frac{1}{3}$ ;
- (c) 与 (b) 中的直线在 y 轴上有相同的截距，且与 (a) 中的直线平行。
15 求在点 (0, 3) 处与 y 轴相切且经过点 (1, 0) 的圆的方程。
16 求下列各圆的圆心和半径：
(a) $$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$$
(b) $$4x^2 - 4x + 4y^2 + 12y + 9 = 0$$
(c) $$9x^2 + 6x + 9y^2 - 6y = 25$$