例 2.1

对于具有下列公式的函数，确定它们的定义域、陪域和值域，并计算 $f(2)$ , $f(-3)$ 和 $f(-x)$ .

(a) $f(x) = 3x^2 + 1$      (b) $f:x \rightarrow \sqrt{[(x + 4)(3 - x)]}$

解答

(a) 公式 $f(x)$ 可以对所有实数值的 $x$ 求值，因此我们可以取包含所有实数的定义域，即 $\mathbb{R}$ 。所得到的值也是实数，所以我们可以取 $\mathbb{R}$ 作为陪域。在本例中， $f(x)$ 的值域实际上小于 $\mathbb{R}$ ，因为 $y = 3x^2 + 1$ 的最小值出现在 $y = 1$ 其中 $x = 0$ 。因此 $f$ 的取值范围是集合

$${x: 1 \leq x, x \text{ in } \mathbb{R}} = [1, \infty)$$

注意这里的约定：集合是用哑变量 $x$ 来指定的。我们也可以写成 ${y: 1 \leq y, y \text{ in } \mathbb{R}}$ ——任何字母都可以使用，但习惯上使用 $x$ 。利用该公式我们求得 $f(2) = 13$ , $f(-3) = 28$ 和 $f(-x) = 3(-x)^2 + 1 = 3x^2 + 1$ 。该函数是偶函数（见第 2.2.6 节）。

(b) 公式 $f:x \rightarrow \sqrt{[(x + 4)(3 - x)]}$ 仅对以下情况给出实数值 $-4 \leq x \leq 3$ , 因为负数不能开平方。因此 $f$ 的定义域为 $[-4, 3]$ 。在其定义域内该函数取实数值，所以其陪域为 $\mathbb{R}$ 但其值域小于 $\mathbb{R}$ 。 $f$ 的最小值出现在 $x = -4$ 处，且 $x = 3$ 当 $f(-4) = f(3) = 0$ 时。 $f$ 的最大值出现在 $x = -\frac{1}{2}$ 当 $f(-\frac{1}{2}) = \sqrt{(35)/2}$ 。

所以本例中 $f$ 的值域是 $[0, \sqrt{(35)/2}]$ 。使用公式我们得到 $f(2) = \sqrt{6}$ , $f(-3) = \sqrt{6}$ , $f(-x) = \sqrt{[(4 - x)(x + 3)]}$ 。

例 2.2

函数 $y = f(x)$ 由能容纳 $y$ 根单位直径圆管的最小直径 $x$ 给出，其中 $x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ 。求 $f(x)$ 的定义域、陪域和值域。

解 该函数如图 2.2 所示。

图 2.2
包围 $x$ 圆形管道中的圆形管道。