图 2.3
图像
$T_2 = f(T_1) = \frac{9}{5} T_1 + 32$ .

图 2.4
图像
$y = (x - 1)(x + 2)$ 。

使函数值为零的自变量的值称为该函数的零点。因此函数 $f(x) = (x - 1)(x + 2)$ 有两个零点， $x = 1$ 和 $x = -2$ 。它们对应于函数图像与 $x$ 轴相交的位置，如图 2.4 所示。从图中可以看出，对于这个函数，当 $x$ 的值从（比如说） $-5$ 增加到 $-\frac{1}{2}$ 时，其函数值随之减小，然后函数值又随 $x$ . 我们可以通过重新排列以下公式来代数地证明这一点： $f(x)$ :

$$\begin{aligned} f(x) &= (x - 1)(x + 2) \ &= x^2 + x - 2 \ &= (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4} \end{aligned}$$

由此我们可以看出 $f(x)$ 在 $-\frac{9}{4}$ 处取得最小值（ $x = -\frac{1}{2}$ ），并且函数值大于 $-\frac{9}{4}$ 的两边 $x = -\frac{1}{2}$ 因为 $(x + \frac{1}{2})^2 \geq 0$ 。该函数被称为在 $x < -\frac{1}{2}$ 上的减函数，在 $x > -\frac{1}{2}$ 上为增函数。更正式地说，函数被称为在区间上递增 $(a, b)$ 如果 $f(x_2) > f(x_1)$ 当 $x_2 > x_1$ 对于所有 $x_1$ 和 $x_2$ 位于 $(a, b)$ 。类似地，对于递减函数，我们有 $f(x_2) < f(x_1)$ 当 $x_2 > x_1$ 。

函数在其行为从递减变为递增的点的取值是该函数的一个极小值（复数为 minima）。通常用星号上标表示 $f^$ 而对应的自变量的值用 $x^$ 表示，于是 $f(x^) = f^$ . 类似地，当一个函数从递增变为递减时，会出现极大值（复数为 maxima）。在许多情况下，极大值和极小值指的是函数的局部值，如例 2.4(a) 所示。有时，在实际问题中，需要区分函数在其定义域上取得的最大值与它在其他地方取得的局部极大值。局部极小值同理。极大值和极小值统称为函数的最优值和极值。

点 $(x^, f^)$ 的图像上的 $f(x)$ 通常被称为图像的转折点，无论它是极大值还是极小值。这些性质将在后面更详细地讨论（见 8.2.7 节和 8.5 节）。对于如图 2.5 所示的光滑函数，函数图像在转折点处的切线是水平的。这一性质可用于确定极大值和极小值的位置。