因此我们有

$$x = f^{-1}(y), \quad \text{where } y = f(x) \quad (2.3)$$

也就是说，自变量 $x$ 对于 $f$ 充当因变量 $f^{-1}$ ，相应地，因变量 $y$ 对于 $f$ 变为自变量 $f^{-1}$ 。同时， $f$ 的值域变为 $f^{-1}$ 的定义域，而 $f$ 成为……的值域 $f^{-1}$ 。

由于通常用 $x$ 表示函数的自变量，用 $y$ 表示因变量，我们交换变量 $x$ 和 $y$ ，并在 (2.3) 中定义反函数如下

$$\text{if } y = f^{-1}(x) \text{ then } x = f(y) \quad (2.4)$$

同样，在工程中通常用 $f^{-1}(x)$ 而不是 $f^{-1}$ 表示反函数。将 $x$ 写作两者的自变量 $f(x)$ 以及 $f^{-1}(x)$ 有时会导致混淆，所以你需要非常清楚反函数的含义。同样重要的是不要把 $f^{-1}(x)$ 与 $[f(x)]^{-1}$ 混淆，后者表示 $1/f(x)$ 。此外，你还需要注意使 $x$ 成立的那些值 $f(x) = 0$ ，并据此采取相应行动。

求出 $f^{-1}(x)$ 的显式公式通常是不可能的，其值需要通过特殊的数值方法计算。有时可以通过代数方法求出 $f^{-1}(x)$ 的公式。我们将在接下来的两个例子中说明这一技巧。

例 2.6 求实函数 $y = f(x) = \frac{1}{3}(4x - 3)$ 的反函数。

解 这里可以通过代数方法求出反函数的公式。首先整理

$$y = f(x) = \frac{1}{5}(4x - 3)$$

表示 $x$ 用……来 $y$ 给出

$$x = f^{-1}(y) = \frac{1}{4}(5y + 3)$$

交换变量 x 和 y 后得到

$$y = f^{-1}(x) = \frac{1}{4}(5x + 3)$$

作为……的反函数

$$y = f(x) = \frac{1}{5}(4x - 3)$$

作为验证，我们有

$$f(2) = \frac{1}{5}(4 \times 2 - 3) = 1$$

$$f^{-1}(1) = \frac{1}{4}(5 \times 1 + 3) = 2$$