例 2.7 求下列函数的反函数 $y = f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ , $x \neq -1$ 。

解 我们对 $y = \frac{x+2}{x+1}$ 进行变形，用 $x$ 表示 $y$ 。（注意 $y$ 在 $x = -1$ 处没有定义。）于是

$$y(x + 1) = x + 2$$    从而    $x(y - 1) = 2 - y$

得到 $x = \frac{2-y}{y-1}$ , $y \neq 1$ 。（注意 $x$ 未在何处定义 $y = 1$ 。将 $y = 1$ 代入 $y$ 的公式中 $x + 1 = x + 2$ 得到方程

$$f^{-1}(x) = \frac{2-x}{x-1}, \quad x \neq 1$$

这是不可能的。）因此 $y = f(x)$ 如果我们已知 $y = f^{-1}(x)$ 的图像 $x$ 并希望得到其反函数的图像 $y$ 那么我们真正需要做的是交换以下两者的角色： $y = f(x)$ 使得 $x$ 和 $y$ 轴互换。这可以通过沿直线取镜像来实现 $y = x$ 并重新标记坐标轴，如图 2.11(a) 和 (b) 所示。重要的是要认识到 $y = f(x)$ 和 $y = f^{-1}(x)$ 的图像关于直线对称 $y = x$ ，因为这一性质在数学论证中经常被使用。注意 $x$ 和 $y$ 轴具有相同的刻度。

图 2.11
……的图像
$y = f^{-1}(x)$ 。

例 2.8 求出 $f^{-1}(x)$ 当 (a) $f(x) = \frac{9}{5}x + 32$ , (b) $f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ , $x \neq -1$ , (c) $f(x) = x^2$ 时的图像。

解 (a) 这是将摄氏温度（°C）转换为华氏温度（°F）的公式，其图像如图 2.12(a) 中的蓝线所示。将该图像关于直线 $y = x$ 作反射，即得到反函数 $y = g(x) = \frac{5}{9}(x - 32)$ 的图像，如图 2.12(a) 中的黑线所示。