图 2.12 (a) 函数 $f(x) = \frac{9}{5}x + 32$ 及其反函数 $g(x)$ 的图像。(b) 函数 $f(x) = \frac{x+2}{x+1}$ 及其反函数 $g(x)$ .

(b) $y^2 = x$

(a) $y = f(x) = x^2$ (b) $y^2 = x$ (c) $y = f^{-1}($

(c) $y = f^{-1}(x) = +\sqrt{x}$

的图像。 $f(x) = x^2$
图 2.13
函数 $y = f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ , $x \neq -1$ 及其反函数的图像。

(b) 函数 $y = g(x) = \frac{2-x}{x-1}$ , $x \neq 1$ 的图像如图 2.12(b) 中蓝色所示。其反函数 $y = x^2$ 的图像可以看作图 2.12(b) 中以黑色绘制的镜像图像。

(c) 函数 $y = x$ 的图像如图 2.13(a) 所示。它关于直线 的镜像给出了图 2.13(b) 的图像。我们注意到，根据我们的定义，该图像不表示一个函数，因为对于所有的 $x > 0$ 有两张图像——一张为正，一张为负——如虚线所示。这是因为 $y = x^2$ 对应于 $x = +\sqrt{y}$ 或 $x = -\sqrt{y}$ 。为了避免这种歧义，我们定义 $f(x) = x^2$ 的反函数为 $f^{-1}(x) = +\sqrt{x}$ ，它对应于图 2.13(c) 中所示图像的上半部分。 $\sqrt{x}$ 因此表示一个正数（参见计算器），所以 $\sqrt{x}$ 的值域为 $x \geq 0$ 。于是 $y = f(x) = x^2$ ( $x \geq 0$ ) 的反函数为 $y = f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ . 请注意， $f(x)$ 的定义域必须被限制为 $x \geq 0$ ，以便能够定义其反函数。在现代用法中，符号 $\sqrt{x}$ 表示一个正数。