从例 2.8(c) 可以看出，不存在与 $f(x) = x^2$ 对应的直接反函数。这是因为对于函数 $f(x) = x^2$ ，存在一个陪域元素是两个定义域元素 $x_1$ 和 $-x_1$ 的像，如图 2.13(a) 中的虚线箭头所示。也就是说， $f(x_1) = f(-x_1) = y_1$ 。如果函数 $y = f(x)$ 要有一个直接反函数 $f^{-1}(x)$ ，在不附加任何条件的情况下，其值域中的每个元素都必须作为 $f(x)$ 下的像恰好出现一次。这样的函数被称为一一对应（1:1）单射函数。

2.2.4 复合函数

在许多实际问题中，数学模型会涉及多个不同的函数。例如，动能 $T$ 运动粒子的动能是其速度的函数 $v$ ，因此

$$T = f(\nu)$$

此外，速度 $v$ 本身是时间的函数 $t$ ，因此

$$v = g(t)$$

显然，通过消去 $v$ ，可以将动能表示为时间的函数，如下式

$$T = f(g(t))$$

形如 $y = f(g(x))$ 的函数称为函数的函数或函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ . 在现代数学文献中，通常将复合函数记作 $f \circ g$ 因此

$$y = f \circ g(x) = f(f(g(x))) \quad (2.5)$$

我们可以用图 2.14 的框图示意性地表示复合函数 (2.5)，其中 $u = g(x)$ 称为中间变量。

需要认识到，函数的复合一般不满足交换律。也就是说，对于两个一般的函数 $f(x)$ 和 $g(x)$

$$f(g(x)) \neq g(f(x))$$

从代数上看，给定两个函数 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ ，复合函数 $y = f(g(x))$ 可以通过将 $x$ 替换到表达式中的 $f(x)$ 通过 $g(x)$ 。同样地，复合函数 $y = g(f(x))$ 可以通过将 $x$ 的表达式中的 $g(x)$ 替换为 $f(x)$ .

而得到。图 2.14
复合函数 $f(g(x))$ .