例 2.9 如果 $y = f(x) = x^2 + 2x$ 且 $y = g(x) = x - 1$ ，求复合函数 $f(g(x))$ 和 $g(f(x))$ 。

解 要求得 $f(g(x))$ ，将 $x$ 的表达式中的 $f(x)$ 替换为 $g(x)$ ，得到

$$y = f(g(x)) = (g(x))^2 + 2(g(x))$$

但是 $g(x) = x - 1$ , 因此

$$\begin{aligned} y &= f(g(x)) = (x - 1)^2 + 2(x - 1) \ &= x^2 - 2x + 1 + 2x - 2 \end{aligned}$$

也就是说，

$$f(g(x)) = x^2 - 1$$

类似地，

$$\begin{aligned} y &= g(f(x)) = (f(x)) - 1 \ &= (x^2 + 2x) - 1 \end{aligned}$$

也就是说，

$$g(f(x)) = x^2 + 2x - 1$$

请注意，这个例子证实了如下一般性结论： $f(g(x)) \neq g(f(x))$ 。

给定一个函数 $y = f(x)$ ，工程中经常出现的两个复合函数是

$$y = f(x + k)$$ 和 $y = f(x - k)$

其中 $k$ 是一个正常数。如图 2.15(b) 和 (c) 所示，给定 的图像，这两个复合函数的图像很容易得到 $y = f(x)$ 如图 2.15(a) 所示。 $y = f(x - k)$ 的图像可以通过将 $y = f(x)$ 的图像向右平移 $k$ 个单位得到，而 $y = f(x + k)$ 的图像可以通过将 $y = f(x)$ 的图像向左平移 $k$ 个单位得到。

将复杂的函数视为较简单函数的复合，往往能让我们“抓住实际问题的核心”，从而求得并理解其解。例如，认识到 $y = x^2 + 2x - 3$ 是复合函数 $y = (x + 1)^2 - 4$ 告诉我们，该函数本质上是平方函数。它的图像是一条抛物线，其最低点位于 $x = -1$ , $y = -4$ （而不是位于 $x = 0$ , $y = 0$ ) 一个类似的过程

图 2.15
……的图像 $f(x)$ ,
$f(x - k)$ 和 $f(x + k)$ ，
其中 $k > 0$ .