将复杂问题简化为较简单问题的方法，出现在例 1.49 所讨论的实际问题的求解过程中。

例 2.10 一个开口圆锥形容器由半径为 10 cm 的扇形制成，如图 2.16 所示，扇形的圆心角为 $\theta$ （弧度）。圆锥的容积 $C \text{ cm}^3$ 取决于 $\theta$ 。求 $C$ 的公式，以及若我们希望关于 $\theta$ 最大化 $C$ 时可以研究的相应最简函数 $\theta$ 。

解 设圆锥的底面半径为 $r$ cm，高为 $h$ cm。则其容积由下式给出 $C = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ 其中 $r$ 和 $h$ 取决于扇形角 $\theta$ （因为扇形的周长必须等于圆锥底面的周长）。因此，根据勾股定理，

$$10\theta = 2\pi r \quad \text{and} \quad h^2 = 10^2 - r^2$$

所以

$$\begin{aligned} C(\theta) &= \frac{1}{3} \pi \left( \frac{10\theta}{2\pi} \right)^2 \left[ 10^2 - \left( \frac{10\theta}{2\pi} \right)^2 \right]^{1/2} \ &= \frac{1000}{3} \pi \left( \frac{\theta}{2\pi} \right)^2 \left[ 1 - \left( \frac{\theta}{2\pi} \right)^2 \right]^{1/2}, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi \end{aligned}$$

最大化 $C(\theta)$ 关于 $\theta$ 本质上与最大化

$$D(x) = x(1 - x)^{1/2}, \quad 0 \leq x \leq 1$$

（其中 $x = (\theta/2\pi)^2$ ）是同一个问题。

最大化 $D(x)$ 关于 $x$ 本质上与最大化是同一个问题

$$E(x) = x^2(1 - x), \quad 0 \leq x \leq 1$$

这比原问题容易得多。

绘制 $E(x)$ 的图像表明它在 $x = \frac{2}{3}$ 处有一个最小值，其值为 $\frac{4}{27}$ 。我们可以通过证明水平线 $y = \frac{4}{27}$ 是该图像在 $x = \frac{2}{3}$ 处的切线来证明这一点；也就是说，该直线在 $x = \frac{2}{3}$ .

解

图 2.16
例 2.10 的圆锥形容器。