$$T_2 = \frac{9}{5}T_1 + 32$$

和 $m = \frac{9}{5}$ 与 $c = 32$ 。

要确定某个特定线性函数的公式，需要求出两个常数 $m$ 和 $c$ 。这意味着我们需要两条信息来确定 $f(x)$ .

例 2.13

某制造商生产 5000 件产品，总成本为 10000 英镑，并以每件 2.75 英镑的价格出售。问制造商的利润作为售出数量 $x$ 的函数是多少？

解

设制造商的利润为 $P$ 英镑。如果售出 $x$ 件产品，则总收入为 2.75 英镑 $x$ , 使得利润额 $P(x)$ 由下式给出

$$P(x) = \text{revenue} - \text{cost} = 2.75x - 10,000$$

这里函数的定义域是 $[0, 5000]$ 而值域是 $[-10,000, 3750]$ 。该函数在 $x = 3636\frac{4}{11}$ 处有一个零点。因此，为了盈利，制造商必须售出超过 3636 件商品。（注意其中的建模近似：严格来说， $x$ 是一个整数变量，而不是一般的实数变量。）

如果我们知道函数 $f(x)$ 在自变量的两个取值 $x_0$ 和 $x_1$ 处所取的值 $x$ 我们可以求出 $f(x)$ 的公式。设 $f(x_0) = f_0$ 和 $f(x_1) = f_1$ ；则

$$f(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1} f_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} f_1 \quad (2.6)$$

这个公式被称为拉格朗日公式。显然该函数是线性的，因为我们可以将其整理为

$$f(x) = x \left[ \frac{f_1 - f_0}{x_1 - x_0} \right] + \left[ \frac{x_1 f_0 - x_0 f_1}{x_1 - x_0} \right]$$

读者应从 (2.6) 验证 $f(x_0) = f_0$ 和 $f(x_1) = f_1$ .

例 2.14

使用拉格朗日公式求线性函数 $f(x)$ 其中 $f(10) = 1241$ 和 $f(15) = 1556$ .

解答

取 $x_0 = 10$ 和 $x_1 = 15$ 使得 $f_0 = 1241$ 和 $f_1 = 1556$ 我们得到

$$\begin{aligned} f(x) &= \frac{x - 15}{10 - 15} (1241) + \frac{x - 10}{15 - 10} (1556) \ &= \frac{x}{5} (1556 - 1241) + 3(1241) - 2(1556) \ &= \frac{x}{5} (315) + (3723 - 3112) = 63x + 611 \end{aligned}$$