$$\begin{aligned} f(x) &= \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}(2) + \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3-2)}(4) + \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}(8) \ &= (x-2)(x-3) - 4(x-1)(x-3) + 4(x-1)(x-2) = x^2 - x + 2 \end{aligned}$$

拉格朗日公式并不总是求二次函数表达式的最佳方法。有时我们希望将表达式写成关于某个特定点的展开形式，如例 2.19 所示。

例 2.19 求如下形式的二次函数

$$f(x) = A(x - 2)^2 + B(x - 2) + C$$

它满足 $f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 8$ 。

解 在公式中取 $x = 1$ 为 1、2 和 3，对于 $f(x)$ 我们得到

$$f(1): A - B + C = 2$$

$$f(2): \quad C = 4$$

$$f(3): A + B + C = 8$$

由此很快求得 $A = 1$ , $B = 3$ 和 $C = 4$ 。因此

$$f(x) = (x - 2)^2 + 3(x - 2) + 4$$

二次函数的表达方式取决于问题的情境。形式 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 对于取值为 $x$ 附近 $x = 0$ ，而当 $f(x) = A(x - x_0)^2 + B(x - x_0) + C$ 的形式对于 $x$ 附近的 $x = x_0$ 值较为方便时，使用形式 $f(x)$ 。（这里的第二种形式有时被称为 $x = x_0$ 在 $f(x)$ 处的泰勒展开。）这将在后面讨论一般函数时进行（见第 9.4 节），届时我们将利用微分学来得到该展开式。

由于我们可以将 $b^2 > 4ac$ 写成 (2.10) 的形式，可以看到当 $f(x)$ 时，我们可以将 $f(x)$ 如 (1.8) 中给出的两个零点

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{(b^2 - 4ac)}}{2a}$$

当 $b^2 < 4ac$ , $f(x)$ 无法因式分解且没有零点。在这种情况下，它被称为不可约二次函数。

例 2.20 对下列二次函数配方，并指出哪些是不可约的。

(a) $$y = x^2 + x + 1$$     (b) $y = 3x^2 - 2x - 1$

(c) $$y = 4 + 3x - x^2$$ (d) $y = 2x - 1 - 2x^2$