解

解 (a) 在这种情况下， $a = b = c = 1$ 因此 $b^2 - 4ac = -3 < 0$ 由此我们得出该二次式是不可约的。或者，使用配方法，我们有

$$y = x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = (x + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$$

由于这是一个平方和，例如 $A^2 + B^2$ ，它不能像平方差那样 $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ 被因式分解。因此这是一个不可约的二次函数。

(b) 这里 $a = 3$ , $b = -2$ 且 $c = -1$ ，因此 $b^2 - 4ac = 16 > 0$ 由此我们得出这不是一个不可约的二次式。或者，配方得

$$\begin{aligned} y &= 3x^2 - 2x - 1 = 3(x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}) \ &= 3[(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{9}] = 3[(x - \frac{1}{3}) - \frac{2}{3}][(x - \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}] \ &= 3[x - 1][x + \frac{1}{3}] = (x - 1)(3x + 1) \end{aligned}$$

因此这不是一个不可约的二次函数。

(c) 这里 $a = -1$ , $b = 3$ 和 $c = 4$ ，因此 $b^2 - 4ac = 25 > 0$ 并且我们推出该二次式是不可约的。或者，配方后我们得到

$$\begin{aligned} y &= 4 + 3x - x^2 = 4 + \frac{9}{4} - (x - \frac{3}{2})^2 \ &= \frac{25}{4} - (x - \frac{3}{2})^2 = [\frac{5}{2} - (x - \frac{3}{2})][\frac{5}{2} + (x - \frac{3}{2})] \ &= (4 - x)(1 + x) \end{aligned}$$

于是 $y$ 是两个一次因式的乘积，所以 $4 + 3x - x^2$ 不是一个不可约的二次函数。

(d) 这里 $a = -2$ , $b = 2$ 和 $c = -1$ ，因此 $b^2 - 4ac = -4 < 0$ 并且我们推出该二次式是不可约的。或者我们可以配方

$$\begin{aligned} y &= 2x - 1 - 2x^2 = -1 - 2(x^2 - x) \ &= -1 + \frac{1}{2} - 2(x - \frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{2} - 2(x - \frac{1}{2})^2 \ &= -2[\frac{1}{4} + (x - \frac{1}{2})^2] \end{aligned}$$

由于方括号内的项是平方和，我们得到一个不可约的二次函数。

二次函数

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

当……时有最大值 $a < 0$ 当……时有最小值 $a > 0$ ，如前面图 2.33 所示。该极值点（即最大值或最小值）的位置和值可以由 $f(x)$ 的配平方形式 (2.10) 求得。这些点出现在

$$x + \frac{b}{2a} = 0$$

因此，当 $a > 0$ , $f(x)$ 有最小值 $(4ac - b^2)/(4a)$ 其中 $x = -b/(2a)$ 。当 $a < 0$ , $f(x)$ 有最大值 $(4ac - b^2)/(4a)$ 在 $x = -b/(2a)$ .