24 求二次函数的解析式 $f(x)$ 使得

(a) $$f(1) = 3, f(2) = 7$$ 和 $f(4) = 19$

(b) $$f(-1) = 1, f(1) = -1$$ 和 $f(4) = 2$

25 求满足下列条件的数 $A$ , $B$ 和 $C$ 使得

$$f(x) = x^2 - 8x + 10$$

$$= A(x - 2)^2 + B(x - 2) + C$$

26 判断下列哪些二次函数是不可约的。

(a) $$f(x) = x^2 + 2x + 3$$      (b) $f(x) = 4x^2 - 12x + 9$

(c) $$f(x) = 6 - 4x - 3x^2$$ (d) $f(x) = 3x - 1 - 5x^2$

27 求第 26 题中给出的二次函数的最大值或最小值。

28 当 $x$ 取何值时，下列二次函数的值大于零？

(a) $$f(x) = x^2 - 6x + 8$$      (b) $f(x) = 15 + x - 2x^2$

例 2.21 求下列函数的极值

(a) $$y = x^2 + x + 1$$      (b) $y = 3x^2 - 2x - 1$

(c) $$y = 4 + 3x - x^2$$ (d) $y = 2x - 1 - 2x^2$

解 这里利用例 2.20 的配平方。

(a) $$y = x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$$

显然， $y$ 能取到的最小值是 $\frac{3}{4}$ 且当 $x + \frac{1}{2} = 0$ 时取得；也就是说，当 $x = -\frac{1}{2}$ .

(b) $$y = 3x^2 - 2x - 1 = 3(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$$

显然， $y$ 的最小值当 $x = \frac{1}{3}$ 时取得，且等于 $-\frac{4}{3}$ .

(c) $$y = 4 + 3x - x^2 = \frac{25}{4} - (x - \frac{3}{2})^2$$

显然，最大值 $y$ 可取的是 $\frac{25}{4}$ 且这发生在 $x = \frac{3}{2}$ .

(d) $$y = 2x - 1 - 2x^2 = -\frac{1}{2} - 2(x - \frac{1}{2})^2$$

因此，的最大值为 $y$ 等于 $-\frac{1}{2}$ 且出现在 $x = \frac{1}{2}$ 。

请确认这些结果与上述理论相符。

2.3.5 练习题

29 一辆以 $u$ 英里/小时行驶的汽车必须紧急刹车。在驾驶员施加恒定制动减速度 $T_1$ 之前，有一个初始反应时间 $a$ 英里/小时². 经过一段时间后 $T_2$ 汽车停止运动。证明 $T_2 = u/a$ 并且证明在刹车期间的平均速度为 $u/2$ 。由此证明总停车距离 $D$ 可以表示为如下形式

$$D = Au + Bu^2$$

其中 $A$ 和 $B$ 取决于 $T_1$ 和 $a$ 。

一辆以 20 mph 和 40 mph 行驶的汽车的停车距离分别为 40 英尺和 120 英尺。估算一辆以 70 mph 行驶的汽车的停车距离。

一名司机看到前方 150 英尺处有危险。若要避免碰撞，汽车此刻的最大可能速度是多少？