2.4 多项式函数

一个多项式函数具有如下一般形式

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \quad x \text{ in } \mathbb{R} \quad (2.12)$$

其中 $n$ 是正整数， $a_r$ 是实数，称为 $x^r$ , $r = 0, 1, \dots, n$ 的系数。出现的 $n$ 的最高次幂的指数 $x$ 称为多项式的次数。当 $n = 1$ 时，我们得到线性函数

$$f(x) = a_1 x + a_0$$

；当 $n = 2$ 时，得到二次函数

$$f(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0$$

等等。

我们之前已经得到了线性函数和二次函数的拉格朗日公式（见第 2.3.1 节和第 2.3.4 节）。这些公式的基本思想可以用来得到一个次数为 $n$ 的多项式的公式，该多项式满足 $f(x_0) = f_0, f(x_1) = f_1, f(x_2) = f_2, \dots, f(x_n) = f_n$ 。注意，我们需要 $(n + 1)$ 个值来确定一个次数为 $n$ 的多项式。我们可以将拉格朗日公式写成如下形式。

$$f(x) = L_0(x)f_0 + L_1(x)f_1 + L_2(x)f_2 + \dots + L_n(x)f_n$$

其中 $L_0(x), L_1(x), \dots, L_n(x)$ 是次数为 $n$ 的多项式，满足

$$L_k(x_j) = 0, \quad x_j \neq x_k \text{ (or } j \neq k)$$

$$L_k(x_k) = 1$$

这意味着 $L_k$ 具有如下形式

$$L_k(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \dots (x - x_{k-1})(x - x_{k+1}) \dots (x - x_n)}{(x_k - x_0)(x_k - x_1)(x_k - x_2) \dots (x_k - x_{k-1})(x_k - x_{k+1}) \dots (x_k - x_n)}$$

（容易验证 $L_k$ 的次数为 $n$ 且 $L_k(x_j) = 0, j \neq k$ ，并且 $L_k(x_k) = 1$ .)

例 2.22

求三次函数，使得 $f(-3) = 528, f(0) = 1017, f(2) = 1433$ 且 $f(5) = 2312$ 。

解 注意到我们需要四个数据点来确定一个三次函数。我们可以写成

$$f(x) = L_0(x)f_0 + L_1(x)f_1 + L_2(x)f_2 + L_3(x)f_3$$

其中 $x_0 = -3, f_0 = 528, x_1 = 0, f_1 = 1017, x_2 = 2, f_2 = 1433, x_3 = 5$ 且 $f_3 = 2312$ 。因此

$$L_0(x) = \frac{(x - 0)(x - 2)(x - 5)}{(-3 - 0)(-3 - 2)(-3 - 5)} = -\frac{1}{120}(x^3 - 7x^2 + 10x)$$

$$L_1(x) = \frac{(x + 3)(x - 2)(x - 5)}{(0 + 3)(0 - 2)(0 - 5)} = \frac{1}{30}(x^3 - 4x^2 - 11x + 30)$$