$$L_3(x) = \frac{(x+3)(x-0)(x-2)}{(5+3)(5-0)(5-2)} = \frac{1}{120}(x^3 + x^2 - 6x)$$

$$L_2(x) = \frac{(x+3)(x-0)(x-5)}{(2+3)(2-0)(2-5)} = -\frac{1}{30}(x^3 - 2x^2 - 15x)$$

注意每个 Lk 都是一个三次函数，因此它们的和也将是一个三次函数

$$\begin{aligned} f(x) &= -\frac{1}{120}(x^3 - 7x^2 + 10x)(528) + \frac{1}{30}(x^3 - 4x^2 - 11x + 30)(1017) \ &\quad - \frac{1}{30}(x^3 - 2x^2 - 15x)(1433) + \frac{1}{120}(x^3 + x^2 - 6x)(2312) \ &= x^3 + 10x^2 + 184x + 1017 \end{aligned}$$

2.4.1 基本性质

多项式具有两个重要的数学性质。

性质 (i)

如果两个多项式对自变量的所有取值都相等，那么变量各次幂对应的系数也相等。因此，如果

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$

$$g(x) = b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \dots + b_1 x + b_0$$

且

$$f(x) = g(x)$$ 对所有 $x$

则

$$a_i = b_i \quad \text{for } i = 0, 1, 2, \dots, n$$

该性质构成了一种称为比较系数的方法的基础，该方法将在后面用于确定部分分式（见第 2.5 节）。

性质 (ii)

任何实系数多项式都可以表示为一次因式和不可约二次因式的乘积。

例 2.23 求使下式对所有 x 的取值都成立的 A、B 和 C 的值：

$$x^2 + 1 = A(x - 1) + B(x + 2) + C(x^2 + 2)$$

对所有 x 的取值都成立。

解 将右边展开，我们得到

$$x^2 + 0x + 1 = Cx^2 + (A + B)x + (-A + 2B + 2C)$$