$$C = 1$$

$$A + B B = 0$$

$$-A + 2B + 2C = 1$$

然后我们求解它得到

$$A = \frac{1}{3}, \quad B = -\frac{1}{3}, \quad C = 1$$

验证一下，我们有

$$\frac{1}{3}(x-1) - \frac{1}{3}(x+2) + (x^2+2) = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + x^2 + 2 = x^2 + 1$$

2.4.2 因式分解

尽管性质 (ii) 早已为人所知，但第一个严格的证明是由高斯于 1799 年发表的。该结果是一个“存在性定理”。它告诉我们多项式可以分解，但并未说明如何找到这些因式！

例 2.24 对下列多项式进行因式分解

(a) $$x^3 - 3x^2 + 6x - 4$$      (b) $x^4 - 16$      (c) $x^4 + 16$

解 (a) 函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 4$ 显然在 $x = 1$ 处取值为零。因此 $x - 1$ 必定是 $f(x)$ 的一个因式。现在我们可以用代数除法（一种类似于数字长除法的过程）将 $x^3 - 3x^2 + 6x - 4$ 除以 $x - 1$ 。该过程可以如下进行。

步骤 1

$$x - 1(x^3 - 3x^2 + 6x - 4)$$

为了产生这一项 $x^3$ , $x - 1$ 必须乘以 $x^2$ 。这样做，然后从 $x^3 - 3x^2 + 6x - 4$ .

$$x - 1(x^3 - 3x^2 + 6x - 4)x^2$$

$$\frac{x^3 - x^2}{-2x^2 + 6x - 4}$$

步骤 2

现在对多项式重复此过程 $-2x^2 + 6x - 4$ 。在这种情况下，为了消去这一项 $-2x^2$ ，我们必须将 $x - 1$ 乘以 $-2x$ .

$$\begin{aligned} & x - 1(x^3 - 3x^2 + 6x - 4)x^2 - 2x \ & \underline{\underline{x^3 - x^2}} \ & - 2x^2 + 6x - 4 \ & \underline{\underline{-2x^2 + 2x}} \ & 4x - 4 \end{aligned}$$