第 3 步

最后我们必须乘以 $x - 1$ 以消去 $4x - 4$ 如下：

$$\begin{aligned} x - 1(x^3 - 3x^2 + 6x - 4)x^2 - 2x + 4 \ \underline{x^3 - x^2} \ - 2x^2 + 6x - 4 \ \underline{-2x^2 + 2x} \ 4x - 4 \ \underline{4x - 4} \end{aligned}$$

因此

$$f(x) = (x - 1)(x^2 - 2x + 4)$$

二次因式 $x^2 - 2x + 4$ 是一个不可约因式，通过“配方法”可以说明这一点：

$$x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3$$

(b) 函数 $f_1(x) = x^4$ 和 $f_2(x) = x^4 - 16$ 具有相似的图像，如图 2.34(a) 和 (b) 所示。从这些图像可以清楚地看出 $f_2(x)$ 在两个值处有零点 $x$ , 其中 $x^4 = 16$ ；也就是说，在 $x^2 = 4$ ( $x^2 = -4$ 对于实数 $x$ 是不允许的）。因此 $f_2$ 的零点位于 $x = 2$ 和 $x = -2$ 处，于是我们可以写成

$$\begin{aligned} f_2(x) &= x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) \ &= (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) \end{aligned}$$

（c）函数 $f_1(x) = x^4$ 和 $f_3(x) = x^4 + 16$ 具有相似的图像，如图 2.34(a) 和 (c) 所示。从这些图像中可以清楚地看出 $f_3(x)$ 没有任何实数零点，因此我们预期它可以分解为两个二次项。我们可以写出

$$x^4 + 16 = (x^2 + 4)^2 - 8x^2$$ 这是一个平方差，可以进行因式分解。

$$(x^2 + 4)^2 - 8x^2 $$x^4 + 16 = (x^2 + 4)^2 - 8x^2$$

which is a difference of squares and may be factored.

$$(x^2 + 4)^2 - 8x^2 = (x^2 + 4)^2 - (x\sqrt{8})^2 = [(x^2 + 4) - x\sqrt{8}][(x^2 + 4) + x\sqrt{8}]$$

(a)

(b)

(c)

Figure 2.34 Graphs of (a) $y = f_1(x) = x^4$ , (b) $y = f_2(x) = x^4 - 16$ and (c) $y = f_3(x) = x^4 + 16$ .$$