因此我们得到

^f3(x) ^{= x4 +} 16 = (x^{2 −} 2xË2 + 4)(x^{2 +} 2xË2 + 4)

因此我们得到

$$f_3(x) = x^4 + 16 = (x^2 - 2x\sqrt{2} + 4)(x^2 + 2x\sqrt{2} + 4)$$ 由于 $x^2 \pm 2x\sqrt{2} + 4 = (x \pm \sqrt{2})^2 + 2$ ，我们推出这些都是不可约二次式。

2.4.3 嵌套乘法与综合除法

在例 2.24(a) 中，我们通过直接代入求出了多项式在 $x = 1$ 处的像值。然而一般而言，计算多项式函数像值的最有效方法是使用嵌套乘法。考虑三次函数

$$f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 2x + 3$$

它可以写成

$$f(x) = [(4x - 5)x + 2]x + 3$$

我们从最内层开始，依次计算每个括号内的表达式来求值。因此，为了求 $f(6)$ ，采取以下步骤：

• (1) 将 4 乘以 $x$ 并减去 5；在此情形中 $4 \times 6 - 5 = 19$ .
• (2) 将第 1 步的结果乘以 $x$ 并加上 2；在此情形中 $19 \times 6 + 2 = 116$ .
• (3) 将第 2 步的结果乘以 $x$ 并加上 3；在此情形中 $116 \times 6 + 3 = 699$ 。

于是 $f(6) = 699$ 。

在计算机上，这通过一个简单的递推关系来实现。为了求

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$$

在 $x = t$ 处的值，我们使用以下公式

$$b_{n-1} = a_n$$

$$b_{n-2} = tb_{n-1} + a_{n-1}$$

$$b_{n-3} = tb_{n-2} + a_{n-2}$$

$$b_1 = tb_2 + a_2$$

$$b_0 = tb_1 + a_1$$

$$f(t(t) = tb_0 + a_0$$

可将其概括为

$$\left. \begin{aligned} b_{n-1} &= a_n \ b_{n-k} &= tb_{n-k+1} + a_{n-k+1} \quad (k = 2, 3, \dots, n) \ f(t) &= tb_0 + a_0 \end{aligned} \right} \quad (2.13)$$

（存储中间值的原因 $b_k$ 将在下文显而易见。）

在求出 $f(x)$ 于 $x = t$ 处的值后，可知对于给定的 $t$

$$f(x) - f(t) = 0$$