at $x = t$ ; that is, $f(x) - f(t)$ has a factor $x - t$ . Thus we can write

中文 · PDF 129

在 $x = t$ ；也就是说， $f(x) - f(t)$ 有一个因子 $x - t$ 。因此我们可以写成

$$f(x) - f(t) = (x - t)(c_{n-1}x^{n-1} + c_{n-2-1}x^{n-2} + \dots + c_1x + c_0)$$

将右边展开，我们得到

$$f(x) - f(t) = c_{n-1}x^n + (c_{n-2} - tc_{n-1})x^{n-1} + (c_{n-3} - tc_{n-2})x^{n-2} + \dots + (c_0 - tc_1)x + (-tc_0)$$

于是我们可以写成

$$f(x) = c_{n-1}x^n + (c_{n-2} - tc_{n-1})x^{n-1} + (c_{n-3} - tc_{n-2})x^{n-2} + \dots + (c_0 - tc_1)x + f(t) - tc_0$$

但是

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_1 x + a_0$$

所以，利用 2.4.1 节的性质 (i)，并比较 $x$ 的同次幂系数，我们得到

$$c_{n-1} = a_n$$

$$c_{n-2} - tc_{n-1} = a_{n_{-1} \quad \text{implying} \quad c_{n-2} = tc_{n-1} + a_{n-1}$$

$$c_{n-3} - tc_{n-2} = a_{n-2} \quad \text{implying} \quad c_{n-3} = tc_{n-2} + a_{n-2}$$

$c_0 - tc_1 = a_1$ 意味着 $c_0 = tc_1 + a_1$

$f(t) - tc_0 = a_0 \quad \text{意味着} \quad f(t) = tc_0 + a_0$

因此 $c_k$ 满足与 $b_k$ 完全相同的公式，因此该方法产生的中间数即为商多项式的系数。于是我们可以写出

$f(x) = (b_{n-1}x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \dots + b_1x + b_0)(x - t) + f(t) \quad (2.14)$

或者

$\frac{f(x)}{x-t} = b_{n-1}x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \dots + b_1x + b_0 + \frac{f(t)}{x-t}$

结果 (2.14) 告诉我们，如果多项式 $f(x)$ 由 (2.12) 给出的式子被除以 $x - t$ 则这会得到一个商多项式 $q(x)$ 由下式给出

$q(x) = b_{n-1}x^{n-1} + \dots + b_0$

以及一个余项 $r = f(t)$ 它与 $x$ 无关。由于这一性质，嵌套乘法方法有时也被称为 综合除法.

这些系数 $b_i$ , $i = 0, \dots, n - 1$ , 商式多项式与余数项的 $f(t)$ 可使用公式 (2.13) 确定。该过程可以用以下表格形式进行：