因此

$$x^3 - 3x^2 + 6x - 4 = (x - 2)(x^2 - x + 4) + 4$$

现在用 $y = x^2 - x + 4$ 重复该过程，我们得到

1 −1 4 * 2 0 2 2 1 1 6

因此

$$x^2 - x + 4 = (x - 2)(x + 1) + 6$$

以及

$$x^3 - 3x^2 + 6x - 4 = (x - 2)[(x - 2)(x + 1) + 6] + 4$$

最后，

$$x + 1 = (x - 2) + 3$$

因此

$$\begin{aligned} y &= (x - 2)[(x - 2)^2 + 3(x - 2) + 6] + 4 \ &= (x - 2)^3 + 3(x - 2)^2 + 6(x - 2) + 4 \end{aligned}$$

为了便于手工计算，整个过程可以列成一张表：

1 −3 6 −4 * 2 0 2 −2 8 1 −1 4 ⋮4 * 2 0 2 2 1 1 ⋮6 * 2 0 2 1 ⋮3

于是，1、3、6 和 4 给出了 $(x - 2)^3$ , $(x - 2)^2$ , $(x - 2)^1$ 以及 $(x - 2)^0$ 在泰勒展开式中的系数。

2.4.4 多项式方程的根

多项式方程在工程应用中经常出现，从涉及旋转机械时对共振频率的识别，到电路的稳定性分析。观察多项式方程的根与其系数之间的联系往往很有用。

例 2.27 证明该方程的任何实根

$$x^3 - 3x^2 + 6x - 4 = 0$$