解 由例 2.26 我们知道

$$x^3 - 3x^2 + 6x - 4 \equiv (x - 2)^3 + 3(x - 2)^2 + 6(x - 2) + 4$$

现在如果 $x > 2$ , $(x - 2)^3$ , $(x - 2)^2$ 和 $(x - 2)$ 都是正数，因此对于 $x > 2$

$$(x - 2)^3 + 3(x - 2)^2 + 6(x - 2) + 4 > 0$$

于是 $x^3 - 3x^2 + 6x - 4 = 0$ 没有一个大于 $x = 2$ 的根。

类似地，对于 $x < 0$ , $x^3$ 和 $x$ 都是负数，且 $x^3 - 3x^2 + 6x - 4 < 0$ 对于 $x < 0$ 。

因此 $x^3 - 3x^2 + 6x - 4 = 0$ 没有小于 $x = 0$ 的根。所以

$$x^3 - 3x^2 + 6x - 4 = 0$$

的所有实根都位于 $x = 0$ 和 $x = 2$ 之间。

我们可以推广例 2.27 的结果。定义

$$f(x) = \sum_{k=0}^n A_n(x - a)^n$$

那么多项式方程 $f(x) = 0$ 没有大于 $x = a$ 的根，如果所有 $A_k$ 都具有相同的符号；并且没有小于 $x = a$ if if the $A_k$ 's alternate in sign.

多项式方程的根与其系数之间还有更直接的联系。现在考虑一个二次方程，其根为 $\alpha$ 和 $\beta$ 。那么我们可以把方程写成

$$(x - \alpha)(x - \beta) = 0$$

这等价于

$$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$

将其与标准二次方程比较，我们得到

$$a(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta) \equiv ax^2 + bx + c$$

因此 $-a(\alpha + \beta) = b$ 且 $a\alpha\beta = c$ 所以

$$\alpha + \beta = -b/a \quad \text{and} \quad \alpha\beta = c/a$$

这给出了二次方程的根之和与系数之间、以及根之积与系数之间的直接联系。类似地，我们可以证明如果 $\alpha$ , $\beta$ 和 $\gamma$ 是三次方程的根

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$

那么

$$\alpha + \beta + \gamma = -bla, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = cla, \quad \alpha\beta\gamma = -dla$$