图 2.38

33 证明方程的根 $\alpha, \beta$ 方程

$$x^2 + 4x + 1 = 0$$

满足以下方程

$$\alpha^2 + \beta^2 = 14$$

$$\alpha^3 + \beta^3 = -52$$

从而求出根为以下值的二次方程

• (a) $\alpha^2$ 和 $\beta^2$
• ² (b) $\alpha^3$ 和 $\beta^3$

34 用拉格朗日公式求经过点 (5.2, 6.408)、(5.5, 16.125)、(5.6, 19.816) 和 (5.8, 27.912) 的三次函数的公式。

35 求图像经过以下各点的二次函数的公式 $(1, 403)$ , $(3, 471)$ 和 $(7, 679)$ .

• 36 (a) 证明：如果方程 $ax^3 + bx + c = 0$ 有重根 $\alpha$ 那么 $3a\alpha^2 + b = 0$ .

$$A = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}$$

38 两架梯子，长度分别为 12 米和 8 米，斜靠在小巷两侧的建筑物上，如图 2.38 所示。证明如图所示位置中梯子顶端达到的高度 $x$ 和 $y$ （单位：米）满足方程

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \quad \text{and} \quad x^2 - y^2 = 80$$

图 2.36

图 2.37

利用 (a) 的结果，推导出 $A$ 有最小值 $A^$ 当 $6\pi r^2 - A^ = 0$ 。因此求出相应的 $r$ 和 $h$ 。

37 用一块胶合板制作一个盒子， $2\text{ m} \times 1\text{ m}$ ，浪费部分如图 2.37(a) 所示。求这种盒子的最大容积，并将其与不浪费材料所制作的盒子的容积进行比较，如图 2.37(b) 所示。

证明 $x$ 满足方程

$$x^4 - 8x^3 - 80x^2 + 640x - 1280 = 0$$

图 2.38

证明 $x$ 满足方程

$$x^4 - 8x^3 - 80x^2 + 640x - 1280 = 0$$ 并且小巷的宽度由下式给出 $\sqrt{(12^2 - x_0^2)}$ ，其中 $x_0$ 是该方程的正根。先在合适的定义域上列出该多项式的表格，然后绘制其图像，估计 $x_0$ 的值以及小巷的宽度。使用合适的软件包检验你对四次方程的解（精确到小数点后两位）。