2.5 有理函数

有理函数的一般形式为

$$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$$

其中 p(x) 和 q(x) 是多项式。如果 p 的次数小于 q 的次数，则 f(x) 称为严格真有理函数。如果 p 和 q 的次数相同，则 f(x) 是一个真有理函数。如果 p 的次数大于 q 的次数，则称其为假有理函数。

假有理函数或真有理函数总可以表示为一个多项式加上一个严格真有理函数，例如通过代数除法。

例 2.30 将假有理函数

$$f(x) = \frac{3x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 6x - 7}{x^2 - 2x + 3}$$

表示为一个多项式函数与一个严格真有理函数之和。

解 我们观察到分子是 x 的四次多项式，分母是二次多项式，因此可以写成

$$\frac{3x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 6x - 7}{x^2 - 2x + 3} \equiv Ax^2 + Bx + C + \frac{Dx + E}{x^2 - 2x + 3}$$

两边同乘以 $(x^2 - 2x - 3)$ 得到

$$3x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 6x - 7 \equiv (x^2 - 2x + 3)(Ax^2 + Bx + C) + Dx + E$$

在右边合并 x 的同次幂项，得

$$Ax^4 + (B - 2A)x^3 + (3A - 2B + C)x^2 + (3D - 2C + D)x + (3C + E)$$

比较两边同次幂的系数，得到

$$\begin{aligned} & A = 3 \ & -2A + B = 2 \Rightarrow B = 8 \ 3A - 2B + C &= -5 \Rightarrow C = 2 \ 3B - 2C + D &= 6 \Rightarrow D = -14 \ 3C - E &= -7 \Rightarrow E = -13 \end{aligned}$$

于是

$$f(x) = 3x^2 + 8x + 2 - \frac{14x + 13}{x^2 - 2x + 3}$$