任何严格真分式有理函数都可以表示为若干更简单函数之和，这些简单函数的分母为一次函数或不可约二次函数。例如，

$$\frac{x^2 + 1}{(1 + x)(1 - x)(2 + 2x + x^2)} = \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{5(1 - x)} - \frac{4x + 7}{5(2 + 2x + x^2)}$$

这些更简单的函数称为该有理函数的部分分式，在工程系统的数学分析与设计中常常很有用。注意，严格来说上面的等式是一个恒等式，因为它对所有定义域内的 $x$ 值都成立。这里我们遵循常见的写法，写作 $=$ 而不是 $\equiv$ （如我们之前所做的那样（见第 1.3.3 节））。

构造有理函数的部分分式形式，是把各个独立的有理表达式合并为单一有理函数这一过程的逆过程。例如，

$$\begin{aligned} & \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{5(1 - x)} - \frac{4x + 7}{5(2 + 2x + x^2)} \ &= \frac{1(5)(1 - x)(2 + 2x + x^2) + (1 + x)(2 + 2x + x^2) - (1 + x)(1 - x)(4x + 7)}{5(1 + x)(1 - x)(2 + 2x + x^2)} \ &= \frac{5(2 - x^2 - x^3) + (2 + 4x + 3x^2 + x^3) - (1 - x^2)(4x + 7)}{5(1 - x^2)(2 + 2x + x^2)} \ &= \frac{5(2 - x^2 - x^3) + (2 + 4x + 3x^2 + x^3) - (7 + 4x - 7x^2 - 4x^3)}{5(2 + 2x - x^2 - 2x^3 - x^4)} \ &= \frac{5 + 5x^2}{5(2 + 2x - x^2 - 2x^3 - x^4)} \ &= \frac{1 + x^2}{2 + 2x - x^2 - 2x^3 - x^4} \end{aligned}$$

但从这个例子可以清楚地看出，逆转这一过程（从最终表达式倒推）并不容易，因此我们需要一种不同的方法来求给定函数的部分分式。完整地描述该方法很容易，但难以理解，所以在给出一般算法之前，我们将在下一节中把该方法应用于几种常见类型的函数。

2.5.1 部分分式

在本节中，我们将说明形如 $p(x)/q(x)$ 的真分式有理函数如何表示为部分分式。

(a) 互异一次因式

分母中每个形如 $(x + \alpha)$ 的互异一次因式 $q(x)$ 将产生如下形式的部分分式 $\frac{A}{x + \alpha}$ ，其中 $A$ 是一个实常数。